Название: Планиметрия - Практические занятия (В.Г. Голобокова, О.М. Кравец, А.А. Осокина,)

Жанр: Гуманитарные

Просмотров: 1125


Хш. теоремы синусов и косинусов

 

Теорема синусов. Стороны произвольного треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

,

где  R – радиус описанного около треугольника круга.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

.

Свойство диагоналей параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

 

Задачи

 

Вычислите отношение сторон треугольника a : b : c, если

 :  : = 1 : 3 : 8.

 

Решение

 

По теореме синусов . Разделим 180° в отношении 1 : 3 : 8. Получим:

 

  ;.

.

В окружность радиусом R вписан треугольник с углами  и . Найдите его стороны и площадь.

Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника, равная 12 см, пересекает противоположную сторону под углом 135° (угол обращен к основанию). Найдите основание треугольника и радиус описанного круга.

В треугольнике две стороны равны 20 и 21 м, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону.

Стороны треугольника 13, 14, 15. Найдите косинусы углов треугольника.

Одна сторона треугольника 21 см, а две другие относятся как 3 : 8 и заключают угол 60°.  Найдите эти стороны.

Стороны треугольника 7, 11, 14 см. Вычислите медиану, проведенную к большей стороне.         

В равнобедренном треугольнике основание 5 см, боковая сторона 20 см. Вычислите биссектрису угла при основании.

В параллелограмме с углом 60° и меньшей диагональю  расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны равно . Вычислите стороны и большую диагональ.

DABC вписан в окружность радиуса R. Точка D лежит на дуге BC, а хорды AD и BC пересекаются в точке М. Найдите длину стороны BC, если угол BMD равен 120°, AB = R, BM : MC = 2 : 3.