Название: вычислительная математика (В.В. Ландовский)

Жанр: Педагогика

Просмотров: 1776

Лабораторная работа №8. решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки

Пусть на отрезке  требуется найти решение дифференциального уравнения

             8.1

удовлетворяющее следующим краевым условиям:

                   8.2

Численное решение задачи состоит в нахождении приближённых значений  искомого решения  в точках . Точки  называются узлами сетки. Используем равномерную сетку, образованную системой равноотстоящих узлов  . При этом , ,. Величина  – шаг сетки. Пусть , , , ,, . Аппроксимируем  и  в каждом внутреннем узле центральными разностными производными

,

и на концах отрезка – односторонними производными

,

Используя эти формулы, получаем разностную аппроксимацию исходной задачи (8.1) – (8.2):

       (8.3)

Чтобы найти приближённые значения искомого решения, необходимо решить систему  линейных уравнений (8.3) с  неизвестными. Эту систему можно решить одним из стандартных методов решения линейных систем. Однако матрица системы (8.3) трёхдиаганальная, поэтому для её решения применим специальный метод, называемый методом прогонки.

Перепишем систему (3) следующим образом:

                           (8.4)

где  ,   , , , ,

, , , , .

Задание

На отрезке  решить методом прогонки линейную краевую задачу

Таблица 8.1 Варианты заданий

Литература

Бахвалов Н.С., Жидков  Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М. Наука. 1987.

Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М. Наука.1980.

Волков Е.А. Численные методы. М. Наука. 1982.

Мэтьюз Д. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование Matlab. Издательский дом «Вильямс». М. С.-П. К. 2001. 714 с.