Название: вычислительная математика (В.В. Ландовский)

Жанр: Педагогика

Просмотров: 1776


Лабораторная работа №1. теория погрешностей

Цель работы

Ознакомиться с основными положениями теории погрешностей. Провести вычислительные эксперименты, иллюстрирующие эти положениями.

Основные источники погрешностей

Численные методы в настоящее время относятся к основным методам решения задач математики и различных ее приложений. Они характеризуются тем, что сводят процесс решения математической задачи к некоторой конечной последовательности операций над числами и приводят к результатам, представленным в виде чисел, числовых векторов и матриц, числовых таблиц и т. п. Их значение возрастает параллельно с развитием вычислительной техники.

В то же время полученные численными методами результаты обычно содержат погрешности, являясь лишь приближениями к искомым ответам. Вызвано это рядом объективных причин, среди которых есть не связанные непосредственно с методами вычислений. Чтобы разобраться в них, проанализируем основные этапы математического решения прикладных задач, а именно:

Построение математической модели задачи.

Определение исходных данных.

Решение полученной математической задачи.

Погрешности, внесенные на этапе решения математической задачи численными методами, как правило, обусловлены двумя основными причинами:

ограниченность разрядной сетки вычислительных устройств.

применение приближенных методов

В процессе вычислений обязательно следует вести учет погрешностей, поскольку приближенные результаты решения задач бесполезны без информации о степени их точности.

Абсолютная погрешность

Пусть  - точное значение, а  - приближенное значение некоторой величины.

Абсолютной погрешностью приближенного значения  называется величина . Так как, значение  как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида . Величину  называют верхней границей (или просто границей) абсолютной погрешности.

Абсолютная погрешность дает ценную информацию о неизвестном точном значении : оно находится от известного приближения а на расстоянии, не большем чем .

Относительная погрешность

При приближенных измерениях и вычислениях возникает потребность в характеристике качества проделанной работы. Для этой цели знание только абсолютной погрешности оказывается недостаточным.

Пример: Найдена масса одного предмета  кг. с точностью до 0,1 кг. и с такой же точностью определена масса кг. другого предмета. Хотя , ясно, что первое измерение выполнено лучше, чем второе

Для оценки качества измерений или вычислений вводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностью значения  (при ) называется величина . Она является безразмерной величиной и потому часто выражается в процентах

Величину  называют верхней границей (или просто границей) относительной погрешности:

Округление чисел

При вычислениях часто приходится иметь дело с числами, содержащими большое количество значащих цифр. Независимо от того, точные эти числа или приближенные, часть цифр иногда целесообразно отбрасывать. Минимальную погрешность округления дает следующее правило:

Правило округления чисел. Чтобы округлить число до  значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа от  значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов чисел, заменяют их нулями. При этом:

если первая (слева) отбрасываемая цифра меньше 5, то все сохраняемые цифры остаются без изменения;

если первая отбрасываемая цифра больше 5 или если она равна 5, но среди остальных отбрасываемых цифр есть ненулевые, то к последней сохраняемой цифре прибавляется единица;

если первая отбрасываемая цифра равна 5 и все остальные отбрасываемые цифры являются нулями, то последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

Значащие цифры

Значащими цифрами числа  называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Значащую цифру числа  называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Влияние погрешностей аргументов на значение функции

Пусть  дифференцируемая функция своих аргументов, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях

Тогда для абсолютной погрешности функции справедлива следующая оценка

 

Для относительной погрешности функции справедливо следующее приближенное равенство , где

Можно также воспользоваться равенством

Задание

Задача 1. Дан ряд . Найти сумму ряда  аналитически. Вычислить значения частичных сумм  ряда  и найти величину абсолютной погрешности  при значениях  .

Порядок  решения задачи:

1. Найти сумму ряда S аналитически как предел частичных сумм ряда.

Пример:

,. .

2. Используя функцию  , вычислить значения частичных сумм ряда при  указанных значениях .

3. Для  каждого  вычислить величину  абсолютной  погрешности  и определить количество  верных  цифр  в .

4. Представить результаты в виде гистограммы.

Задача 2. Дана матрица . В каждый из диагональных элементов матрицы A по очереди внести погрешность в 1\%. Как изменился определитель матрицы А?  Указать количество верных цифр и вычислить величину относительной погрешности определителя в каждом случае.

Задача 3. Дано квадратное уравнение . Предполагается, что один  из коэффициентов уравнения (в индивидуальном варианте помечен *) получен в результате округления. Произвести теоретическую оценку погрешностей корней в зависимости от погрешности коэффициента. Вычислить корни  уравнения при нескольких различных значениях коэффициента в пределах заданной точности. Сравнить полученные результаты.

Варианты заданий приведены в таблицах 1.1, 1.2, 1.3.

Таблица 1.1. варианты к задаче 1.

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

Таблица 1.2. варианты к задаче 2.

            A

            A

            A

2.1

3          2          2

33        28        24

360      320      270

2.2

30        34        19

314      354      200

2          8          13

2.3

1.3       1          13

3.4       1.4       23

5          3          1.5

2.4

9          5          6

17        9          11

7          4          5

2.5

-7        -7        -1

0          -2        -6

5          6          4

2.6

3          1          13

5          3          15

11        5          40

Таблица 1.3. варианты к задаче 3.

Коэффициенты

Коэффициенты

Коэффициенты

3.1

b* = -39.6

c   =  -716.85

3.2

b  = 27.4

c* = 187.65

3.3

b* = 37.4

c   = 187.65

3.4

b  = -30.9

c* = 238.7

3.5

b*  =  -3.29

c   =   2.706

3.6

b  =  -3.29

c* =  2.706