Название: вычислительная математика (В.В. Ландовский) Жанр: Педагогика Просмотров: 1776 |
Лабораторная работа №3. интерполяция и сглаживаниеЦель работы Изучение методов интерполяции и сглаживания. Разработка соответствующих алгоритмов и программ. Интерполяция Интерполяция – отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным её значениям. Интерполяционный полином Лагранжа Пусть функция Одна из форм записи интерполяционного многочлена - многочлен Лагранжа
Многочлен Таким образом, степень многочлена Пример: По таблице построим интерполяционный многочлен Лагранжа
Интерполяция сплайнами Пусть функция функция на каждом частичном отрезке Разность Рассмотрим один из наиболее распространенных вариантов
интерполяции кубическими сплайнами. Функцию где Коэффициенты сплайнов определяются из условий сшивания соседних сплайнов в узловых точках: равенство значений сплайнов непрерывность первой и второй производных от сплайнов в
узлах Кроме перечисленных условий, необходимо задать условия на
концах, т.е. в точках Получим алгоритм определения коэффициентов кубических
сплайнов. Условия в узлах
где Продифференцируем дважды сплайн по переменной
Из условий непрерывности производных, при переходе в точке
И, наконец, из граничных условий на основании выражения для второй производной получим, что
Полученные соотношения (3.1 – 3.6) представляют собой
полную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Из уравнения (3.4) выразим
Объединяя уравнения (3.1), (3.2) с соотношением (3.7)
представим коэффициенты
После подстановки выражений (3.7) и (3.8) в соотношение
(3.3) получим уравнение, в которое входят только неизвестные коэффициенты
При
Таким образом, В каждое из уравнений типа (3.9) входят только три не
известных с последовательными значениями индексов Сглаживание При проведении некоторых экспериментальных исследований наблюдаются частые и резкие изменения значений измеряемых величин. Это может создавать определенные трудности в изучении процессов и управлении ими. Борются с ними путем сглаживания. Метод сглаживания получил довольно широкое распространение в экспериментальных исследованиях. Отметим, однако, что применять сглаживание нужно осмотрительно. В некоторых особых случаях резко выделяющиеся точки могут характеризовать существенные качественные изменения, происходящие в исследуемом объекте. Сглаживая экспериментальные данные, мы можем легко утратить информацию о таких явлениях. Метод наименьших квадратов Пусть связь между аргументами Для многочлена Требующиеся нам наилучшие коэффициенты многочлена должны
давать минимум функции Следует отметить, что если степень многочлена Сглаживание функции, заданной таблицей значений в неравноотстоящих точках, с помощью многочлена первой степени, построенного по трем последовательным точкам методом наименьших квадратов. Необходимо вычислить множество По каждым трем последовательным точкам
Дающих в этих точках наименьшее отклонение от Для Задача отыскания коэффициентов где Решение этой системы позволяет определить значения
коэффициентов Сглаживание функции, заданной таблицей значений в равноотстоящий точках, с помощью многочлена первой степени, построенного по трем последовательным точкам методом наименьших квадратов Вычисляется множество Метод, используемый для нахождения значений Однако, с учетом условия 2.2. Сглаживание функции, заданной таблицей значений в равноотстоящий точках, с помощью многочлена первой степени, построенного по пяти последовательным точкам методом наименьших квадратов Вычисляется множество По каждым пяти последовательным точкам Для Искомые сглаженные значения 2.3. Сглаживание функции, заданной таблицей Значений в равноотстоящий точках, с помощью многочлена третьей степени, построенного по пяти последовательным точкам методом наименьших квадратов Вычисляется множество По каждым пяти последовательным точкам дающих в этих точках наименьшее отклонение от Для Задача отыскания коэффициентов
Искомые сглаженные значения где Задание Задача 1. Для функции заданной таблицей значений разработать алгоритм и программу построения интерполяционного многочлена Лагранжа. Задача 2. Разработать алгоритм и программу сплайн-интерполяции функции заданной таблицей значений в равноотстоящих точках. Для определения коэффициентов использовать метод прогонки Задача 3. Разработать алгоритм и программу сглаживания функции заданной таблицей значений. Метод сглаживания выбирается согласно варианту таблица. 3.1. Таблица 3.1. варианты сглаживания
Содержание отчета Один отчет по работам №3 и №4. |
|
Разделы
Количество литературы
Всего: 763 читаем
Лучшие из лучших
Философия для специалиста - учеб. пособие. (Т.О. Бажутина)
Экономика природопользования - Задачи и упражнения (В.А. Шоба)
Политология - Учеб. пособие.(Денисенко Н.А)
Франчайзинг в сфере малого предпринимательства - учебное пособие (А. Е. Леонов)
Основы финансового функционально-стоимостного анализа - учебное пособие (Щербаков В. А., Приходько)
Направление системы электросвязи Часть 1 - учебное пособие (Анатолий Денисов, Константин Алексеев)
Маркетинг - учебное пособие (О. А. Кислицына, С. И. Потапович, В. К. Стародубцева)
Практикум по конфликтологии - учебное пособие (И.А. Скалабан)
Информатика. Алгоритмический язык Фортран - учебное пособие (Худяков Д.С., Саблина Г.В.)
Основы работоспособности технических систем. Автомобильный транспорт - учебное пособие (Атапин, В.Г)