Название: вычислительная математика (В.В. Ландовский)

Жанр: Педагогика

Просмотров: 1925

Лабораторная работа №3. интерполяция и сглаживание

Цель работы

Изучение методов интерполяции и сглаживания. Разработка соответствующих алгоритмов и программ.

Интерполяция

Интерполяция – отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным её значениям.

Интерполяционный полином Лагранжа

Пусть функция  задана таблицей своих значений: ,  Требуется найти многочлен степени, такой, что значения функции и многочлена в точках таблицы совпадают.

Одна из форм записи интерполяционного многочлена - многочлен Лагранжа

, где

Многочлен  представляет собой многочлен степени  , удовлетворяющий условию

Таким образом, степень многочлена  равна  и при  в сумме обращаются в нуль все слагаемые, кроме слагаемого с номером , равного .

Пример:

По таблице построим интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяция сплайнами

Пусть функция  задана таблицей своих значений: , . Сплайном степени  называется функция , обладающая следующими свойствами:

функция  непрерывна на отрезке  вместе со своими производными до некоторого порядка .

на каждом частичном отрезке  функция совпадает с некоторым алгебраическим многочленом  степени .

Разность  между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке  производной называют дефектом сплайна. Кусочно-линейная функция является сплайном первой степени с дефектом, равным единице.

Рассмотрим один из наиболее распространенных вариантов интерполяции кубическими сплайнами. Функцию  будем использовать для аппроксимации зависимости .

где , - коэффициенты сплайна, определяемые из дополнительных условий;  - номер сплайна.

Коэффициенты сплайнов определяются из условий сшивания соседних сплайнов в узловых точках:

равенство значений сплайнов  и аппроксимируемой функции  в узлах:

непрерывность первой и второй производных от сплайнов в узлах ,

Кроме перечисленных условий, необходимо задать условия на концах, т.е. в точках . В общем случае эти условия зависят от конкретной задачи. Довольно часто используются условия свободных концов сплайнов.

Получим алгоритм определения коэффициентов кубических сплайнов. Условия в узлах  после подстановки  сплайна принимают вид

                                             3.1

               3.2

где 

Продифференцируем дважды сплайн по переменной  

.

Из условий непрерывности производных, при переходе в точке  от  к , получим следующие соотношения:

         3.3

                     3.4

И, наконец, из граничных условий на основании выражения для второй производной получим, что

                         3.5

           3.6

Полученные  соотношения (3.1 – 3.6) представляют собой полную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов , но прежде чем решать эту систему, выгодно преобразовать ее так, чтобы неизвестными была только одна группа коэффициентов

Из уравнения (3.4)  выразим

             3.7

Объединяя уравнения (3.1), (3.2) с соотношением (3.7) представим коэффициенты  также через коэффициенты

            3.8

После подстановки выражений (3.7) и (3.8) в соотношение (3.3) получим уравнение, в которое входят только неизвестные коэффициенты . Для симметричности записи в полученном уравнении уменьшим значение индекса  на единицу

         3.9

При , учитывая условие свободного конца сплайна, в (3.9) следует положить

                      3.10

Таким образом,  уравнение вида (3.9) вместе с условиями (3.5) и (3.10) образует систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов . Коэффициенты вычисляются после нахождения  по формулам (3.7) и (3.8) коэффициенты  равны значениям аппроксимируемой функции в узлах в соответствии с формулой (3.1).

В каждое из уравнений типа (3.9) входят только три не известных с последовательными значениями индексов . Следовательно, матрица системы линейных алгебраических уравнений относительно  является трехдиагональной. Для решения систем с трех диагональной матрицей наиболее эффективно применять метод прогонки.

Сглаживание

При проведении некоторых экспериментальных исследований наблюдаются частые и резкие изменения значений измеряемых величин. Это может создавать определенные трудности в изучении процессов и управлении ими. Борются с ними путем сглаживания.

Метод сглаживания получил довольно широкое распространение в экспериментальных исследованиях. Отметим, однако, что применять сглаживание нужно осмотрительно. В некоторых особых случаях резко выделяющиеся точки могут характеризовать существенные качественные изменения, происходящие в исследуемом объекте. Сглаживая экспериментальные данные, мы можем легко утратить информацию о таких явлениях.

Метод наименьших квадратов

Пусть связь между аргументами  и значениями функции  приближенно описывается формулой  с числовыми параметрами . Требуется определить такие значения этих параметров, при которых сумма квадратов отклонений  будет наименьшей.

Для многочлена  степени  сумма квадратов отклонений представляет собой неотрицательную функцию переменных :

Требующиеся нам наилучшие коэффициенты многочлена должны давать минимум функции. Необходимым условием экстремума дифференцируемой функции многих переменных является равенство нулю ее частных производных по всем переменным.

Следует отметить, что если степень многочлена , то наименьшее отклонение лают интерполяционные многочлены, при  такой многочлен единственный, а при  их бесконечное множество.

Сглаживание функции, заданной таблицей значений в неравноотстоящих точках, с помощью многочлена первой степени, построенного по трем последовательным точкам методом наименьших квадратов.

Необходимо вычислить множество  сглаженных значений функции , заданной множествами  значений аргумента и  соответствующих значений функции.

По каждым трем последовательным точкам , ,  для  строится последовательность многочленов первой степени вида

,      (3.11)

Дающих в этих точках наименьшее отклонение от  в смысле метода наименьших квадратов.

Для , т.е. в каждой точке , за исключением конечных точек  и , в качестве сглаженного значения функции  берется вычисленное в точке  значение многочлена , в качестве  - вычисленное в точке  значение многочлена , а в качестве  - значение многочлена , вычисленное при .

Задача отыскания коэффициентов  и  многочленов  сводится к решению системы нормальных уравнений:

где

Решение этой системы позволяет определить значения коэффициентов  и . На основе значений этих коэффициентов можно определить искомые сглаженные значения .

Сглаживание функции, заданной таблицей значений в равноотстоящий точках, с помощью многочлена первой степени, построенного по трем последовательным точкам методом наименьших квадратов

Вычисляется множество  сглаженных значений функции , заданной множеством  ее значений в  равноотстоящих точках  с  .

Метод, используемый для нахождения значений , приведен выше.

Однако, с учетом условия   выражения для вычисления искомых сглаженных значений  имеют вид:

2.2. Сглаживание функции, заданной таблицей значений в равноотстоящий точках, с помощью многочлена первой степени, построенного по пяти последовательным точкам методом наименьших квадратов

Вычисляется множество  сглаженных значений функции , заданной множеством ее значений в  равноотстоящих точках  с  .

По каждым пяти последовательным точкам  для  строится последовательность многочленов первой степени вида (3.11), дающих в этих точках наименьшее отклонение от у в смысле метода наименьших квадратов.

Для  в качестве сглаженного значения функции  берется вычисленное в точке  значение многочлена, построенного по точкам , т.е. многочлена . В качестве сглаженных значений  и  берутся вычисленные в точках  и  соответственно значения многочлена , а в качестве  и - значения многочлена , вычисленные соответственно и точках  и

Искомые сглаженные значения , вычисляются по формулам.

2.3. Сглаживание функции, заданной таблицей Значений в равноотстоящий точках, с помощью многочлена третьей степени, построенного по пяти последовательным точкам методом наименьших квадратов

Вычисляется множество  сглаженных значений функции, заданной множеством  ее значений в  равноотстоящих точках  с  .

По каждым пяти последовательным точкам  для  строится последовательность многочленов третьей степени вида ,

дающих в этих точках наименьшее отклонение от  в смысле метода наименьших квадратов.

Для , т.е. в каждой точке , за исключением точек , в качестве сглаженных значений функции  берется вычисленное в точке ; значение многочлена, построенного по точкам , т.е. многочлена . В качестве сглаженных значений  и  берутся вычисленные в точках  и  соответственно значения многочлена , а в качестве  и  - значения многочлена , вычисленные соответственно в точках  и .

Задача отыскания коэффициентов  и  многочленов сводится к минимизации функции

.

Искомые сглаженные значения  вычисляются по формулам:

где  для

Задание

Задача 1.

Для функции заданной таблицей значений разработать алгоритм и программу построения интерполяционного многочлена Лагранжа.

Задача 2.

Разработать алгоритм и программу сплайн-интерполяции функции заданной таблицей значений в равноотстоящих точках. Для определения коэффициентов использовать метод прогонки

Задача 3.

Разработать алгоритм и программу сглаживания функции заданной таблицей значений. Метод сглаживания выбирается согласно варианту таблица. 3.1.

Таблица 3.1. варианты сглаживания

Содержание отчета

Один отчет по работам №3 и №4.