Название: вычислительная математика (В.В. Ландовский)

Жанр: Педагогика

Просмотров: 1776


Лабораторная работа №5. численное интегрирование

Цель работы

Ознакомиться с методами численного интегрирования. Разработать алгоритмы для двух заданных методов. Сравнить эти методы между собой.

Обзор методов

Задача формулируется как нахождение значения

,             5.1

где  - некоторая непрерывная функция во всем интервале , , - конечные константы, .

Существует два подхода к вычислению площади под кривой, описываемой функцией , т.е. к получению оценки значения S.

Первый, подход основан на разбиении интервала  на множество меньших интервалов и нахождении суммы площадей "полосок", получаемых при таком разбиении. Полученная сумма и принимается в качестве значения интеграла.

В существующих методах численного интегрирования, реализующих данный подход, выделяют две группы методов по признаку способа разбиения исходного интервала  на меньшие интервалы.

1. Разбиение производится на N произвольных, обычно равных, интервалов.

2. Местоположение и длина интервалов определяются исходя из решения задачи достижения наивысшей точности при заданном числе интервалов.

К первой группе относятся методы прямоугольников, трапеций, Симпсона, Ньютона-Котеса. Ко второй группе относится метод Гаусса.

Второй подход основан на введении случайных явлений и сведении таким образом задачи вычисления интеграла к более простой задаче расчета математических ожиданий. К этому подходу относятся так называемые методы Монте-Карло.

В работе используются методы численного интегрирования, основанные на разбиении исходного интервала  на N равных интервалов. Необходимо отметить, что формула трапеций и формула Симпсона являются формулами Ньютона-Котеса первого и второго порядков соответственно.

Рассмотрим метод трапеций. Сущность этого метода заключается в линейной аппроксимации подынтегральной функции. Соседние точки , где , , заданные в интервале , соединяются прямыми. Если  и , то интеграл (5.1) будет представляться суммой N трапеций высотой h, где h – длина подынтервала.

Для вычисления значения интеграла через значения функции, с шагом h, используется в этом случае выражение

            5.2

Если заменить линейную аппроксимацию кривыми более высокого порядка, то можно получить большую точность результата. Так, аппроксимируя подынтегральную функцию параболами, получаем вторую формулу Ньютона-Котеса, известную также как правило Симпсона.

               5.3

При использовании этой формулы интервал  разбивается на четное число подынтервалов, так как для проведения параболы необходимо иметь три точки.

Для численного интегрирования можно применить аппроксимирующие полиномы более высоких порядков.

При аппроксимации подынтегральной кривой многочленом K-й степени формула для вычисления значения интеграла имеет следующий вид:

,             5.4

где N – число полос, на которые разбивается площадь под подынтегральной кривой,  некоторая точка в интервале ,  - значение K-й производной  в точке , h – шаг интегрирования,  приведены в табл. 5.1. Последний член в формуле Ньютона-Котеса  указывает на порядок величины ошибки ограничения.

В табл 5.1 одна строка соответствует циклу из K полос, включающему K+1 узловую точку, необходимую для получения многочлена K-й степени. . Чтобы использовать эти формулы при численном интегрировании более чем с одним циклом, коэффициенты надо сложить друг с другом таким образом, чтобы последние значения весов перекрывались. При этом необходимо разбиение интервала  на число подынтервалов (полос) кратное K.

Например, при K=2 и N=6 необходимы три цикла использования коэффициентов (три цикла аппроксимации параболами подынтегральной функции). Получение коэффициентов для выражения (5.4), соответствующих K=2 и N=6, показано в табл. 5.2.

Оценка точности метода Ньютона-Котеса

Для того чтобы оценить точность вычисления интеграла методом Ньютона-Котеса произвольного порядка необходимо рассмотреть два значения полученных по формуле (5.4)  полученное при числе разбиений  и , соответствующее  разбиениям интервала .

В этом случае за величину ошибки метода можно принять абсолютное значение разности , так как точность зависит от количества разбиений интервала интегрирования.

Для проверки достижения заданной точности можно использовать неравенство , где  заданная точность вычисления значения интеграла.

Таблица 5.1. Коэффициенты в формулах Ньютона-Котеса

 

K

1

1/2

1

1

-

-

-

-

-1/12

2

1/3

1

4

1

-

-

-

-1/90

3

3/8

1

3

3

1

-

-

-3/80

4

2/45

7

32

12

32

7

-

-8/945

5

5/288

19

75

50

50

75

19

-275/12096

 

Таблица 5.2. Таблица расчета коэффициентов

 

 

 

 

1

цикл 1

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

цикл 2

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

цикл 3

4

 

1

Сумма

1

4

2

4

2

4

1

Окончательно, используя суммарные значения коэффициентов табл. 5.2, для вычисления интеграла получим

Это выражение согласуется с приведенным выше (5.3)

Задание

Для заданного варианта подынтегральной функции (табл. 5.4) определить величину шага интегрирования h, при котором достигается заданная точность вычисления значения интеграла. Сравнить получаемые величины h для двух заданных методов численного интегрирования. Варианты сравниваемых методов представлены табл. 5.3.

Таблица 5.3 Варианты сравниваемых методов интегрирования

Вариант

Сравниваемые методы

1

Метод трапеций, метод Ньютона-Котеса (3-й порядок)

2

Метод прямоугольников, метод Симпсона

3

Метод трапеций, метод Ньютона-Котеса (4-й порядок)

4

Метод Симпсона, метод Ньютона-Котеса (5-й порядок)

5

Метод трапеций, метод Симпсона

6

Метод прямоугольников, метод Ньютона-Котеса (3-й порядок)

7

Метод Симпсона, метод Ньютона-Котеса (4-й порядок)

8

Метод трапеций, метод Ньютона-Котеса (5-й порядок)

 

Таблица 5.4 Варианты заданий

Вариант

Выражение для подынтегральной функции

Точность

1

0.1, 2.2

10-3

2

1.2, 5.3

10-2

3

3.0, 7.2

10-3

4

6.2, 15.1

10-2

5

12.0, 21.2

10-2

6

5.2, 12.0

10-3

7

3.0, 7.2

10-3

8

5.0, 12.0

10-2

Содержание отчета

Цель работы.

Алгоритмы сравниваемых методов.

Результаты сравнения.