Название: вычислительная математика (В.В. Ландовский)

Жанр: Педагогика

Просмотров: 1643


Лабораторная работа №6 численное решение нелинейных уравнений

Цель работы

Ознакомиться с методами численного решения нелинейных уравнений. Разработать алгоритмы для двух заданных методов. Сравнить эти методы между собой.

Отделение корней нелинейного уравнения

Выбор алгоритма для решения уравнений зависит от характера решаемой задачи. Задачи, сводящиеся к решению нелинейных уравнений можно классифицировать по числу уравнений в зависимости от предполагаемого характера и числа решений.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют найти решение непосредственно с помощью формулы и обеспечивают получение точного решения. В итерационных методах задается некоторая процедура решения в виде многократного применения последовательности операций. Полученное решение всегда является приближенным. Итерационные методы требуют большого количества вычислений и обычно реализуются на ЭВМ.

Ниже дается краткая характеристика итерационных методов, которые используются в вариантах заданий к работе. В каждом из рассматриваемых ниже методов считается, что решаемая задача состоит в отыскании действительных корней уравнения.

         6.1

Все численные методы нахождения корней нелинейного уравнения реализуются в два этапа.

Первый этап - отделение корней нелинейного уравнения, т.е. отыскание некоторых начальных приближений корней.

Второй этап - уточнение приближенного значения корня до некоторой наперед заданной степени точности.

Приближенное значение корня уравнения (6.1) может быть получено:

1. исходя из грубого анализа функции . Цель этого анализа - отыскать два таких значения Xн и Xв, для которых функция  имеет противоположные знаки, т.е.

Тогда между  и  есть по крайней мере одна точка, где . В этом случае в качестве исходного приближения берется интервал  в целом либо . Выбор зависит от используемого на втором этапе метода уточнения значения корня;

2. исходя из физических соображений, т.е. из анализа того объекта или явления, для описания которого используется решаемое уравнение;

3. путем подбора простого уравнения, корни которого расположены вблизи от корней исходного уравнения. Например, замена трансцендентного уравнения алгебраическим.

Пример. Пусть требуется отделить корень уравнения

                        6.2

При  первый член уравнения меняется в диапазоне [0,1.0], поэтому можно рассмотреть крайние случаи ()

              6.3

           6.4

Из уравнения (6.3) следует, что . Из уравнения (6.4), что

Для исходного уравнения (6.2) , т.е. внутри интервала  имеется корень. В качестве первого приближения корня уравнения (6.2) можно задать

4. определение верхних и нижних границ положительных отрицательных действительных корней. Эти границы рассчитываются с помощью формул Лагранжа.

Существуют такие способы отделения корней, основанные на одновременном анализе, знаков первой производной функции  и знаков самой функции  на границах интервалов при грубом анализе функции. Эти способы не используются при выполнении работы.

На втором этапе нахождения корней нелинейного уравнения используются различные методы уточнения значения отделенного корня. В работе предлагается использовать методы половинного деления, хорд (ложного положения), касательных (Ньютона-Рафсона), секущих и простой итерации (последовательных приближений). Ниже дается краткая характеристика указанных методов.

Метод половинного деления

Пусть на этапе отделения корня найдены два последовательных значения функции  и имеющие противоположные знаки.

Затем по формуле  вычисляется значение  в интервале  и находится значение функции . Если знак  совпадает со знаком  то в дальнейшем вместо  используется . Если же  имеет знак, совпадающий со знаком , то на  заменяется это значение функции. В результате одной итерации ширина интервала, в котором расположен корень, изменяется в два раза. Итерационный процесс прекращается если , где  - наперед заданная величина точности вычисления корня. Может быть также использовано условие окончания процесса уточнения корня вида

              6.5

Метод хорд (ложного положения)

В основе метода лежит линейная интерполяция по двум значениям функции, имеющим противоположные знаки.

Пусть на этапе отделения корней найдены последовательные значения функции  и , имеющие противоположные знаки. Прямая, проведенная через эти две точки, пересекает ось X при значении , определяемом по формуле

Затем вычисляется значение функции , которое сравнивается со значениями функции  и . На следующей итерации  используется вместо того из них, с которым совпадает по знаку. Процесс уточнения прекращается, если выполняется условие

Метод касательных (Ньютона-Рафсона)

Данный метод широко используется при построении итерационных алгоритмов. Это обусловлено тем, что на этапе отделения корня не обязательно находить интервал, на котором заключен корень. Достаточно задать некоторое начальное значение . Это возможно по той причине, что в методе Ньютона-Рафсона осуществляется экстраполяция с помощью касательной к кривой в данной точке. Затем, начиная о начального приближения  , осуществляется процесс уточнения значения корня. Вычисление уточнённого значения корня производится по формуле

,                       6.6

где  значение первой производной  в точке .

Если полученное значение  больше , то вся процедура повторяется, но при этом вместо  используется значение .

Необходимо отметить следующие особенности метода:

быстрота сходимости в большой степени зависит от удачного выбора значения ;

метод не всегда обеспечивает сходимость, поэтому необходимо задавать допустимое число итераций;

выражение для  может оказаться слишком сложным.

Метод секущих

Этот метод аналогичен методу Ньютона-Рафсона. В нем используется итерационная формула вида

в которой в отличие от формулы (6.6) вместо, вычисления значения производной  используется некоторое ее приближение, определяемое выражением

При этом, однако, возникает проблема с вычислением первого приближения. Обычно полагают, что

Метод простой итерации (последовательных приближений)

Для применения этого метода уравнение (6.1) представляется в виде

         6.7

соответствующая итерационная формула имеет вид , где  -вычисленное на предыдущей итерации уточнение значения корня. Процесс уточнения так же, как и в методах секущих и касательных начинается с некоторого заданного начального приближения .

Простота метода делает его привлекательным, но он обладает тем недостатком, что не всегда обеспечивает сходимость. Поэтому в программе, использующей этот метод, всегда должен быть контроль сходимости. Необходимо также отметить тот факт, что исходное уравнение (6.1) можно преобразовать к виду (6.7) различными путями. При этом для одного и того же исходного уравнения (6.1) можно получить различные выражения вида (6.7), для которых итерационный процесс различается сходимостью.

Если итерационны процесс сходится, то его окончанию соответствует выполнение условия .

Задание

Для заданного нелинейного уравнения (табл. 6.1) отделить один из действительных корней и составить программу уточнения значения корня заданными методами. Сравнить число итераций, за которое осуществляется уточнение корня указанными методами. Варианты методов, для которых осуществляется сравнение, приведены в табл. 6.2

В ней задана также допустимая величина погрешности, с которой должен бить вычислен корень уравнения.

Таблица 6.1 Варианты решаемых уравнений

Вариант

Нелинейное уравнение

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Таблица 6.2 Варианты методов уточнения корня

Сравниваемые методы

Погрешность

1

Метод половинного деления, метод секущих

10-3

2

Метод хорд, метод касательных

10-4

3

Метод простой итерации, метод хорд

10-4

4

Метод секущих, метод хорд

10-5

5

Метод касательных, метод половинного деления

10-4

6

Метод половинного деления, метод простой итерации

10-3

7

Метод половинного деления, метод хорд

10-4

8

Метод секущих, метод касательных

10-3

Содержание отчета

Цель работы.

Алгоритмы сравниваемых методов.

Результаты сравнения.