Название: вычислительная математика (В.В. Ландовский) Жанр: Педагогика Просмотров: 1777 |
Лабораторная работа №7 численное решение дифференциальных уравненийЦель работы Изучить методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработать алгоритмы и программы для заданных методов. Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных. Таким образом, решить дифференциальное уравнение – значит определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных. Как известно, одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия. В соответствующих курсах высшей математики доказываются теоремы о существовании и единственности решения в зависимости от тех или иных условий. Имеются два типа задач: 1. задачи Коши - для которых определены начальные условия на искомые функции, т. е. заданы значения этих функций в начальной точке интервала решения уравнения; 2. краевые задачи - для которых заданы определенные соотношения сразу на обеих границах интервала. ОДУ первого порядка может по определению содержать помимо
самой искомой функции Методы Рунге-Кутта Методы Рунге — Кутта обладают следующими отличительными свойствами: 1. Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти 2. Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка 3. Они не требуют вычисления производных от Именно благодаря третьему свойству методы Рунге — Кутта
более удобны для практических вычислений, нежели ряд Тейлора. Однако, как и
можно ожидать, для вычисления одной последующей точки решения нам придется
вычислять функцию Как можно заранее предположить, различные методы этой категории требуют большего или меньшего объема вычислений и соответственно обеспечивают большую или меньшую точность. Для того чтобы рассмотреть сущность этих методов, рассмотрим сначала один из них, известный под названием метода Эйлера. Этот метод очень редко применяется на практике, но, как и в случае рядов Тейлора, является отправной точкой для дальнейшего изложения. Метод Эйлера Предположим, что нам известна точка которая пройдет через точку Уравнение прямой
но ведь
Ошибка при Рисунок 7.1 Геометрическое представление метода Эйлера. Формула (7.1) описывает метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Этот метод имеет довольно большую ошибку ограничения; кроме
того, он очень часто оказывается неустойчивым — малая ошибка (происходящая от
ограничения, округления или заложенная в исходных данных) увеличивается с
ростом Для вычисления значения Исправленный метод Эйлера В исправленном методе Эйлера мы находим средний тангенс угла
наклона касательной для двух точек: Рисунок 7.2 Геометрическое представление исправленного метода Эйлера. Тангенс угла наклона прямой
Уравнение линии
так что
Соотношение (7.2) описывает исправленный метод Эйлера. Как видим, исправленный метод Эйлера согласуется с
разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени Модифицированный метод Эйлера В исправленном методе Эйлера усреднялись наклоны
касательных. Можно пойти по другому пути и усреднять точки в следующем смысле.
Рассмотрим рис. 7.3, где первоначальное построение сделано точно так же, как и
на рис. 7.1 – через точку Но на этот раз мы берем точку, лежащую на пересечении этой
прямой и ординаты
Прямая с таким наклоном, проходящая через Рисунок 7.3 Геометрическое представление модифицированного метода Эйлера.
Соотношение (7.3) описывает так называемый модифицированный
метод Эйлера. Этот метод согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов
степени Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности Наиболее популярен алгоритм Рунге-Кутта четвертого порядка,
описанный в большинстве книг по методам вычислений. Он обеспечивает малую
погрешность для широкого класса систем ОДУ и, при этом, довольно экономичен (на
каждом шаге интегрирования требуется вычисление четырех значений функции В этом методе величины
Задание Для заданного варианта задачи Коши Варианты правой части Таблица 7.1 Методы решения ОДУ
Таблица 7.2 Варианты задачи Коши
Таблица 7.3 Представление результатов
Содержание отчета Цель работы. Блок-схемы алгоритмов. Пример работы программы. |
|
Разделы
Количество литературы
Всего: 763 читаем
Лучшие из лучших
Философия для специалиста - учеб. пособие. (Т.О. Бажутина)
Экономика природопользования - Задачи и упражнения (В.А. Шоба)
Политология - Учеб. пособие.(Денисенко Н.А)
Франчайзинг в сфере малого предпринимательства - учебное пособие (А. Е. Леонов)
Основы финансового функционально-стоимостного анализа - учебное пособие (Щербаков В. А., Приходько)
Направление системы электросвязи Часть 1 - учебное пособие (Анатолий Денисов, Константин Алексеев)
Маркетинг - учебное пособие (О. А. Кислицына, С. И. Потапович, В. К. Стародубцева)
Практикум по конфликтологии - учебное пособие (И.А. Скалабан)
Информатика. Алгоритмический язык Фортран - учебное пособие (Худяков Д.С., Саблина Г.В.)
Основы работоспособности технических систем. Автомобильный транспорт - учебное пособие (Атапин, В.Г)