Название: физика(М.И. Дивак, А.А. Погорельская, Л.М. Родникова, В.В. Христофоров )

Жанр: Технические

Просмотров: 1253


4.4. закон равномерного распределения энергиипо степеням свободы молекулы.

Внутренняя энергия идеального газа.

Скорости теплового движения молекул

 

Число независимых координат (чисел), однозначно определяющих положение механической системы в пространстве, называется числом степеней свободы этой системы. В классической теории атомы вещества рассматриваются как материальные точки. Поскольку для однозначного определения местоположения точки в пространстве относительно выбранного начала координат необходимо задать три координаты, например x, y, z в декартовой системе координат, то считается, что одноатомная молекула имеет три степени свободы. Эти степени свободы называют поступательными, так как вращение материальной точки рассматривать бессмысленно. Примером газов, состоящих из одноатомных молекул, являются инертные газы.

Двухатомные молекулы при не очень высоких температурах (H2, O2, N2 и др.) рассматриваются как совокупность двух жестко связанных материальных точек (гантель). Положение таких молекул в пространстве можно определить с помощью пяти чисел, три из которых определяют положение центра масс, а два – углы поворота «гантели» относительно осей координат. Следовательно, двухатомная молекула с жесткой связью между атомами имеет пять степеней свободы – три поступательные и две вращательные.

Трехатомные и многоатомные молекулы с жесткими связями (отсутствует колебательное движение атомов в молекуле относительно центра масс) имеют шесть степеней свободы – три поступательные и три вращательные.

При достаточно высокой температуре в молекулах, состоящих из двух и более атомов, возникает колебательное движение атомов относительно центра масс молекулы, т.е. появляются колебательные степени свободы.

Зная число степеней свободы молекулы и температуру газа для вещества, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, можно определить среднюю энергию молекул этого газа с помощью закона равномерного распределения энергии по степеням свободы молекулы:

средняя энергия, приходящаяся на одну поступательную или вращательную степень свободы молекулы, равна , а на каждую колебательную степень свободы приходится в два раза большая энергия. Здесь Дж/К – постоянная Больцмана.

Используя этот закон, получим среднюю энергию одной молекулы

,

где i – число степеней свободы молекулы:

.

Поскольку для идеального газа потенциальной энергией взаимодействия молекул по сравнению с их кинетической энергией можно пренебречь, а энергия частиц, составляющих саму молекулу в процессах, которые рассматривает классическая термодинамика, не меняется, то можно считать внутреннюю энергию идеального газа равной сумме энергий поступательного, вращательного и колебательного движения его молекул:

,

где N – число молекул идеального газа; R – универсальная газовая постоянная.

Максвелл показал, что при равновесном состоянии газа существует определенное статистическое распределение молекул по скоростям:

,

где  – количество молекул, скорости которых лежат в узком диапазоне от  до ;  – общее количество молекул газа;  – масса одной молекулы;  – постоянная Больцмана;  – аб-солютная температура газа.

Пользуясь этим распределением, можно найти следующие средние скорости теплового движения молекул:

 – средняя квадратичная скорость;

 – средняя арифметическая скорость;

 – наиболее вероятная скорость,

где m0 – масса молекулы газа; Т –абсолютная температура.

При решении некоторых задач удобно перейти в распределении Максвелла к новой переменной, которую можно назвать относительной скоростью молекул:

.

С этой переменной формула для распределения значительно упрощается:

,

где  – количество молекул, относительные скорости которых лежат в узком диапазоне от  до .

Используя эту формулу, можно получить, например, долю молекул , относительные скорости которых лежат в пределах от  до :

.

Если диапазон скоростей  можно считать узким по сравнению с самой скоростью, то интегрирование в последней формуле можно не проводить и использовать формулу в виде

.