Название: Установочные лекции по высшей математике - контрольная работа № 5 (И.Я. Глазычев, А.М. Ивлева)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1107


1. неопределенный интеграл

Мы начнем разговор об интегралах с воспоминания об изученном Вами в прошлом семестре понятия производной. Если функция  определена в некоторой окрестности  точки , то предел отношения приращения  функции к приращениюаргумента, когда последний стремится к нулю, называется производной функции  в точке

.

Если производная  функции  существует в любой точке  некоторого интервала  то тем самым у нас есть некоторый способ (дифференцирование функции) построения по одной функции , определенной на интервале , новой функции , определенной на этом же интервале. Естественным образом возникает вопрос об обратном построении: по заданной на интервале  функции  требуется найти, если это возможно, такую функцию , определенную на интервале , что . Процесс решения этой задачи называется интегрированием функции .  

 

Þ

дифферен-цирование

 

Ü

интегриро-вание

 

 

Рис. 1

Любая функция  такая, что равенство  имеет место для любого , называется первообразной для функции  на интервале . Таким образом, решением задачи интегрирования функции  на интервале  является любая первообразная функции  на . В силу этого, прежде всего возникает вопрос о существовании первообразной для функции  на интервале , и второй вопрос, в случае положительного разрешения первого - о числе таковых первообразных. В прошлом семестре мы с Вами видели, что разрешение задачи дифференцирования функции  не всегда имело место, даже если функция  непрерывна на интервале . Но с другой стороны, в силу определения производной, решение задачи дифференцирования, в случае его существования, единственно.

Иначе обстоит дело с решением задачи интегрирования.

 

Теорема 1

а) Если функция  непрерывна на интервале , то существует первообразная функции  на этом интервале.

б) Если на интервале  для функции  существует хотя бы одна первообразная, то таковых первообразных для функции  будет бесконечно много и все они будут отличатся друг от друга на константу.

 

Иначе говоря, если  на интервале  ( является первообразной для  на ), то  (где  - произвольная постоянная) также является первообразной для  на  и , более того, для любой первообразной  данной функции  на  найдется константа  такая, что равенство  имеет место в любой точке интервала  (см. рис.1).

Совокупность всех первообразных для функции  называется неопределенным интегралом для функции  и обозначается через . Таким образом, следующие два равенства равносильны для любых функций  и :

 и ,

где  - произвольная постоянная. Точно так же, в силу приведенных определений, справедливы равенства

,    .

Известная таблица производных основных элементарных функций, вкупе с определением интеграла, позволяет написать таблицу интегралов для некоторых часто встречающихся функций (для производных основных элементарных функций). Мы приведем эти таблицы параллельно.

 

 (при )

 

.

 

Известные нам правила дифференцирования функций (правила дифференцирования суммы функций, произведения, сложной функции) влекут соответствующие правила, справедливые для процесса интегрирования функций.

 

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых:

 

.

 

Константа выносится за знак интеграла

 

.

 

Правило интегрирования с помощью замены переменной:

 

если , то .

(*)

 Это свойство лежит в основе сложности обозначения неопределенного интеграла, где помимо знака и указания на интегрируемую функцию использовано также обозначение дифференциала . Вспомнив, что дифференциал функции  равен , мы можем переписать равенство (*) в виде

 

.

(**)

 

 

Вводя в рассмотрение новую (уже зависящую от x) переменную u, с помощью равенства u=h(x) вместо (**) мы получаем

 

.

 

Таким образом, импликация (*) может быть сформулирована следующим образом:

если , то равенство  имеет место и для любой, в частности, зависящей от x переменной u.

В конце концов, мы получаем следующий алгоритм интегрирования, соответствующий правилу дифференцирования сложной функции:

если , то .

 

Интегрирование по частям

 

 

.

(***)

 

 

Используя, как и выше, новые (зависящие от x) переменные u, v для функций h(x) и g(x)  соответственно, перепишем равенство (***) в следующем виде:

 

.

 

В конечном итоге, практическое использование метода интегрирования по частям (правила дифференцирования произведения) сводится к следующей цепочке равенств:

 

 

Приведенные правила интегрирования позволяют полученную нами выше таблицу интегралов (полученную непосредственно из таблицы производных основных элементарных функций) переписать в некотором более естественном и более общем виде.

;

(при )

;

;

;

;

;

;

;

.

 

Продемонстрируем теперь приведенные выше способы интегрирования на примерах.