Название: Установочные лекции по высшей математике - контрольная работа № 5 (И.Я. Глазычев, А.М. Ивлева)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1118


2. определенный интеграл

 

Изучение определенного интеграла начнем со следующей задачи. Пусть функция  определена на отрезке  Попробуем отыскать метод вычисления площади S фигуры (криволинейной трапеции) ограниченной осью Ox, прямыми  и графиком функции  (см. рис.2).

 

 

Рис. 2

 

Рис. 3

 

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Функция  постоянна на  В этом случае рассматриваемая фигура является прямоугольником, и его площадь S  равна длине основания  умноженной на высоту , где  - произвольная точка интервала  (см. рис.3.):

Функция  «почти постоянна», т.е. изменяется очень мало при движении x на  В этом случае рассматриваемая фигура «почти прямоугольник» и ее площадь S приближенно равна площади прямоугольника с основанием  и высотой  где  - произвольная точка из  (см. рис.4.):

 

 

Рис. 4

 

Рис. 5

 

.

При этом, данное равенство тем точнее, чем меньше изменения функции на отрезке .

Функция  непрерывна на . Фактически это означает, что в достаточно близких точках отрезка  значения функции  различаются как угодно мало. Тем самым, несмотря на то, что в целом на отрезке  функция может изменятся довольно сильно, мы можем разбить отрезок  точками  так, что на отрезках ) функция  изменяется достаточно мало. Пусть  - площадь фигуры, ограниченной осью Ox, прямыми  и графиком функции .

Тогда . Для фигур с площадью , в силу рассмотрений пункта 2, справедливо приближение

 

,

 

где точка отрезка  При этом последнее приближение тем точнее, чем меньше изменения функции  на  Последнее же можно гарантировать, в силу непрерывности , выбирая отрезок достаточно малым. Таким образом, за счет малости отрезков , разбивающих отрезок , независимо от выбора точек , приближенное равенство

 

 

можно сделать как угодно точным.

Рассматривая последовательность разбиений отрезка  на отрезки  такую, что  получаем точное равенство

для непрерывных функций .

Абсолютизируя эту конструкцию, рассматривая ее вне проблемы вычисления площадей (отказываясь от положительности и непрерывности функции  на ), приходим к понятию определенного интеграла.

Пусть функция  определена на интервале . Выберем разбиение отрезка  с помощью точек  на более мелкие отрезки . Внутри каждого из последних отрезков выберем точку . Тогда число, равное  , называется соответствующей интегральной суммой. Предел интегральных сумм для последовательности разбиений отрезка , когда  стремится к нулю, (если таковой предел существует и не зависит от выбора разбиений отрезка  и точек ) называется определенным интегралом  от функции  на отрезке . При этом считается, что .

Один из первых вопросов, возникающих вслед за этим определением, - для каких функций  существует ? Напомним, что функция  называется кусочно непрерывной на , если отрезок  можно разбить на конечное число отрезков, внутри каждого из которых функция  непрерывна, а в концах этих отрезков  имеет разрывы 1-го рода.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 3 Для любой кусочно непрерывной на  функции  существует определенный интеграл .

Исходя из определения определенного интеграла , мы можем получить его приближенное значение с какой угодно точностью, выбирая достаточно мелкое (с малым ) разбиение . На этом принципе построена целая иерархия приближенных методов вычисления определенных интегралов. Для примера мы приведем здесь лишь одну формулу - формулу Симпсона: