Название: Установочные лекции по высшей математике - контрольная работа № 6(Глазычев И.Я., Ивлева А.М.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1069


4.2. характеристическое уравнение и его корни.

По аналогии с подобными уравнениями первого порядка, рассмотренными нами в общей ситуации в п.2.4., мы можем предполагать, что если уравнение  имеет общим решением функцию  то и уравнение второго порядка может иметь своими решениями экспоненты. Попробуем подставить в дифференциальное уравнение функцию

Не забывая о ненулевом множителе  мы поделим на него и получим алгебраическое уравнение

Оно называется характеристическим уравнением для данного дифференциального.

Из школьной алгебры известно, что его корни указываются формулой  и  в случае, когда дискриминант  положителен, это позволяет нам назвать две искомых базисных функции: , и с их помощью записать общее решение дифференциального уравнения:

4.3. Чуть сложнее случай комплексных корней, возникающий при отрицательном дискриминанте характеристического уравнения: .

«Ограничиться» комплексной формой решения ,  значило бы выйти за рамки нашего рассмотрения. Зато можно воспользоваться знаменитой формулой Эйлера

 

и получить из комплексной пары z1 и z2 две линейно независимые действительные функции:

А общее решение таково:

4.4. Для случая, когда у характеристического уравнения нулевой дискриминант, мы получаем только одно действительное решение: .

Получить второе решение позволяет следующее «физическое» рассуждение. Предположим, что параметры процесса, описываемого уравнением 4.1. при нулевом дискриминанте чуть изменились, и теперь выполняется неравенство  позволяющее указать два решения 4.2.; решением будет и их линейная комбинация

Пусть теперь восстановятся исходные значения параметров. Что станет с только что выписанным решением в пределе при ? Очевидно,  А вот второй множитель в пределе дает следующее:

Так и возникает второе решение  которое независимо с первым.

Итак,  .

 

Сведем воедино полученные результаты:

 

Характеристическое уравнение

Дифференциальное уравнение

Дискриминант

Корни

Общее решение