Название: Установочные лекции по высшей математике - контрольная работа № 6(Глазычев И.Я., Ивлева А.М.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1069


4.6. линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Это уравнение

,

в правой части которого стоит непрерывная функция . И здесь, как в п. 4.1., проявляется общая закономерность: любое решение такого неоднородного уравнения может быть записана как сумма фиксированного решения этого уравнения и некоторого решения однородного уравнения с той же левой частью. Символически

yо.н.=yч.н. +  yо.о.,

где yо.н. - общее решение неоднородного уравнения, а yч.н. - его частное решение.

Нахождение решения неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных.

Здесь мы предложим прием, схожий с тем, который применялся при решении линейных уравнений первого порядка (2.5.).

Итак, пусть дано неоднородное уравнение

.

Пусть  - базисные функции пространства yо.о решений однородного уравнения  с той же левой частью. Тогда yо.о - неопределенные постоянные. Будем искать множество yо.н. в виде

 

Тогда мы опять получим две неизвестные функции вместо одной, зато при этом появится возможность составить для них более простые уравнения.

Сначала же попробуем подставить такую сумму в исходное уравнение. Найдем первую производную:

,

и потребуем, чтобы подсумма, содержащая производные  обращалась в ноль:

Это так называемое уравнение связи, и оно убивает двух зайцев: в силу линейной независимости функций  производная  всегда может быть выражена через  или наоборот; кроме того, при нахождении второй производной неизвестной функции  вторых производных  уже не возникнет:

Теперь подставим в данное уравнение:

Но сумма в скобках, стоящих при множителях  обращаются в ноль: ведь  - решения однородного уравнения. Вместе с уравнением связи мы получили систему из двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными :

Подробные курсы дифференциальных уравнений содержат доказательство того, что определитель такой системы всегда отличен от нуля. Следовательно, мы можем найти неизвестные функции

и восстановить их с помощью неопределенного интеграла с точностью до неопределенных же постоянных

Если же собрать вместе всё решение

yо.н.=

то в нем легко просматриваются слагаемые yч.н.= и yо.о= в полном соответствии с п.4.6.

Правая часть специального вида.

Подынтегральные функции  предыдущего пункта в общем виде выглядят несколько устрашающе; поэтому нелишне было бы освоить и какие-то резервные возможности.

В первую очередь, зададим себе вопрос: какой может быть функция в правой части? Естественно предусмотреть в ней колебательные составляющие  Весьма важны и широко распространены в технике и экспоненты  выражающие при  лавинообразные нарастания в системах с положительной обратной связью и затухание - при  Остальные же функции, правда, с условием существования производных высоких порядков, мы можем весьма точно приближать многочленами с помощью формулы Тэйлора.

Таким образом, мы получаем всевозможные произведения вида  Назовем их показательно-тригонометрическими одночленами. А их произвольную линейную комбинацию - показательно-тригонометрическим многочленом.

Для нашей ситуации - неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в линейной левой части - такие многочлены обладают одной очень важной особенностью: поскольку, например, для одночлена  производная  оказывается линейной комбинацией одночленов с теми же параметрами  - причем производная любого порядка! А тогда при подстановке показательно-степенного многочлена в левую часть линейного дифференциального уравнения она обратится в такой многочлен - именно тот, что должен стоять с правой части, чтобы уравнение удовлетворялось. Но верно и обратное: если в правой части уравнения стоит показательно-степенной многочлен, то и частное решение следует искать в том же виде.

Подбор частного решения неоднородного линейного уравнения при специальной правой части.

Прежде всего, определим действительное или комплексное число, называющееся параметром правой части: для показательно-степенного одночлена вида  это будет  соответственно, для одночленов вида одночлена  Поскольку в правую часть данного уравнения могут входить одночлены с разными параметрами, мы образуем в ней несколько показательно-тригонометрических многочленов с единым параметром каждый:

(при отсутствии тригонометрических функций мы считаем .

И частное решение  ищется для каждого многочлена с параметром  отдельно, а тогда сумма  будет удовлетворять уравнению с суммарной правой частью .

Но тогда и частное решение  должно иметь тот же параметр !

Точные инструкции таковы: для правой части  будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

многочлены с неопределенными коэффициентами  степени m, равной максимуму степеней многочленов  стоящих в правой части.

Но обращает на себя внимание и множитель xr; показатель степени r определяется по следующим правилам в связи с корнями  и  характеристического уравнения 4.2:

если

если

если

если

Иначе говоря,

если параметр правой части не совпадает с характеристическими корнями, то домножать решение на x не нужно;

если параметр совпадает с одним из корней - будь то различные действительные корни или комплексно-сопряженная пара, то решение надо домножить на x;

если же параметр совпадает с кратным корнем  характеристического уравнения, то решение домножается на x2.

После того, как вид решения определен с точностью до неизвестных коэффициентов, остается найти первую и вторую производные показательно-тригонометрического многочлена и подставить их вместе с самим многочленом в левую часть уравнения. После этого из приравнивания коэффициентов при одинаковых одночленах в левой и правой частях уравнения получается система линейных алгебраических уравнений, которая допускает единственное решение (методом Гаусса или другим, неважно).

Обратим внимание на то, что здесь частное решение определяется чисто алгебраическими средствами (исключая нахождение производных от показательно-степенных одночленов), и в сумме с так же алгебраически описываемым  множеством yо.о. Это дает все множество решений yо.н.

Примеры решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Найти общее решение уравнения    .

Прежде всего, нужно найти базис решений однородного уравнения.

Характеристическое уравнение здесь таково: . Его корни

yо.о.=,

yч.н.=.

Функции , как указано в п.4.7, можно найти из системы:

Домножив оба уравнения на  прибавим к нижнему верхнее; тогда получится:

Определители этой системы таковы:

Остается подставить это в общее решение:

yо.н.=

Найти общее решение уравнения

.

Характеристическое уравнение здесь такое: . Его корни совпадают: , следовательно,

yо.о.=.

Правая часть имеет специальный вид; ее слагаемые

Найдем соответствующие слагаемые частного решения.

Вид первого из них определяется наличием в правой части  квадратного двучлена и совпадением параметра  с кратным характеристическим корнем:

.

Теперь

Подставляя в левую часть уравнения, получаем

откуда

Для функции  правой части вид решения определяется тем, что в нее входит множитель  - многочлен первой степени; а параметр правой  части p2 не совпадает с характеристическими корнями:

Левая часть уравнения равна

Приравнивая коэффициенты при одинаковых показательно-тригонометрических одночленах, получим:

Суммируя полученные результаты, имеем

yч.н.=

Для получения общего решения неоднородного уравнения нужно прибавить еще и yо.о.