Название: Установочные лекции по высшей математике - контрольная работа № 6(Глазычев И.Я., Ивлева А.М.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1069


§5. системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Мы ограничимся лишь самым кратким экскурсом в теорию систем дифференциальных уравнений. Подробных разбор этой темы может быть найден в курсах [4, 5], а справочники [6, 7] дают достаточно полных перечень сведений. Необходимо иметь в виду, что в большинстве практически важных случаев система двух и более уравнений любого порядка сводится к системе первого порядка - а она, в свою очередь, к единственному уравнению высокого порядка. Разумеется, верно и обратное. Здесь мы наметим некоторые специфические подходы к решению систем дифференциальных уравнений.

Канонической системой k дифференциальных уравнений относительно k неизвестных функций  называется совокупность уравнений, разрешенных относительно старших производных

Если  вид системы сильно упрощается и она называется нормальной

Решением системы называется набор функций , подстановка которых в уравнения системы обращает их в верные тождества на некотором интервале  По аналогии с дифференциальными уравнениями определяются общее и частное решения  системы (см. п.4.1). Если вместе с нормальной системой рассматривать начальные условия  то получается задача Коши для систем уравнений. В этом случае справедлива теорема существования и единственности решения, аналогичная теореме для уравнения n-го порядка (см.п.1.5).

Сведение нормальной системы к единственному уравнению проиллюстрируем примером. Пусть дана система

 

Из первого уравнения получаем  и, таким образом из второго уравнения системы мы получаем уравнение второго порядка относительно функции y:

 

Когда функции y и  будут найдены, останется только подставить их в имеющееся выражение для z.

Системы линейных однородных уравнений можно представить и как единственное  уравнение первого порядка с неизвестной вектор-функцией

 

так что нормальная система

 

может быть переписана в матричной форме  где  - матрица коэффициентов правых частей.

Попытаемся решать это векторное дифференциальное уравнение, комбинируя константный вектор и переменный скаляр:

Тогда производная в левой части уравнения действует только на экспоненту, позволяя выносить постоянный вектор Y

А матричное умножение в правой части позволяет вынести скалярный множитель  и действовать только на Y:

Чтобы удовлетворить векторному дифференциальному уравнению,  вектор Y должен быть собственным вектором собственного  числа  матрицы А:

Как известно из курса линейной алгебры, это означает, что число  является корнем характеристического уравнения матрицы А:

Раскрытие определителя приводит к алгебраическому уравнению степени k  относительно неизвестной , а при найденных из него значениях  (некоторые из них могут быть комплексными, некоторые могут совпадать - во всех этих случаях предусмотрены специальные дополнения, вносимые в метод решения, см.[4-7]) остается получить координаты собственных векторов  из однородных систем линейных алгебраических уравнений:

 

что осуществляется в общем случае методом Гаусса.

Очевидно, векторное решение таких алгебраических систем определяется с точностью до скаляра Сi, так что и общее решение системы будет включать необходимый набор неопределенных постоянных:

Задача Коши в этом случае позволит найти конкретные числовые значения постоянных C1,...,Ck из алгебраической системы уравнений, получающейся отсюда при x=x0.

Решить задачу Коши для системы

с начальными условиями

Матричная форма системы такова:

Составим характеристическое уравнение:

 

его корни  будут собственными числами матрицы системы.

Для каждого из собственных векторов получается пара пропорциональных (и даже одинаковых!) уравнений:

(1)

откуда   переобозначив множитель  за С1;

(2)

откуда  

Общее решение получается в виде вектора:

 

или в обычной форме:

   

При t = 0 получим:

Складывая уравнения, получаем  Следовательно, решение задачи Коши

 

Программные вопросы для подготовки к экзамену по теме «Дифференциальные уравнения»

 

Дифференциальное уравнение 1-го и n-го порядка, уравнение, разрешенное относительно производной. Частное, общее и особое решения.

Начальные условия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности для уравнений 1-го и n-го порядков.

Некоторые классы дифференциальных уравнений 1-го порядка, стандартные методы их решения: уравнения с разделяющимися переменными; однородные и линейные уравнения; уравнения Бернулли; уравнения в полных дифференциалах.

Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка: не содержащие явно неизвестной функции или аргумента; стандартные способы такого понижения.

Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; структура их общего решения.

Линейное однородное уравнение: характеристическое уравнение и запись базисных функций решения по его корням.

Решение неоднородного линейного уравнения вариацией произвольных постоянных.

Правая часть специального вида; подбор частного решения неоднородного уравнения по виду правой части.

Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.