Название: Установочные лекции по высшей математике - контрольная работа № 6(Глазычев И.Я., Ивлева А.М.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1057


1.1.   дифференциальным уравнением называется равенство вида

F(x, y, y', …, y(n)) = 0,

где F(t1, t2, …, tn+2) - функция (n+2)-х переменных, выражающая связь между аргументом  x, неизвестной функцией  y и ее производными. Порядок n старшей производной, входящей в уравнении, называется порядком уравнения (конечно, не все участники, приведенные в определении, могут реально входить в уравнение: некоторые из производных, и также сама функция y(x) или даже аргумент x могут в уравнении явно не присутствовать).

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка выглядит так:

F(x, y, y') = 0.

Уравнение, преобразованное к виду

y(n) = f(x, y, y', …, y(n-1)) для n-го порядка,

или y' = f(x, y) для первого порядка,

называют разрешенным относительно старшей производной.

Далее мы будем рассматривать только такие уравнения - или же легко приводящиеся к ним. Некоторые  виды дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, могут быть найдены в более подробных учебниках и справочниках, рекомендованных, например, в конце пособия.

Всякая функция, подстановка которой вместе с ее производной в дифференциальное уравнение обращает его в тождество, называется решением уравнения.

Как мы видели на примере простейшего уравнения y’ = f(x), множество всех решений включает в себя неопределенную постоянную C:

y = F(x) + C,

где F(x) - некоторая первообразная для функции f(x). Это делает естественным следующее

Определение. Семейство функций y = j(x, C) называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка, если при любом выборе значения константы C = C0 функция y0(x) = j(x,C0) является решением уравнения; причем если для точки (x0; y0) существует некоторое решение y =y(x) такое, что y0 = y(x0), то оно получается из общего решения при некотором значении постоянной C.

Соответственно, семейство функций y = j(x, C1, C2, ..., Cn) называется общим решением дифферециального уравнения n-го порядка, если при любом выборе значений C1, C2, ..., Cn оно является частным решением уравнения. В п. 1.7. выяснится, почему число постоянных Ci должно быть именно равным порядку n.

Возникает естественный вопрос: исчерпывается ли все множество решений уравнения его общим решением? Оказывается, нет.

Определение. Решение дифференциального уравнения, не получающееся из общего ни при каких значениях C (включая j(x,±¥) = j(x,C)), называется особым решением.

Пример. Пусть дано уравнение . При  y ¹ 0 мы получаем

  

  

Легко проверить, что через каждую точку (x0; y0) проходит одна из этих парабол (а именно при ), и потому мы получили общее решение. Однако решение y(x) º 0 в него не входит и потому является особым.

1.3. Само наличие особых решений у некоторых уравнений способно вызвать недоумение у нашего "физического" здравого смысла: скажем, если в случае дифференциального первого порядка известно начальное значение функции y0 = y(x0), то уже само уравнение y' = f(x, y) указывает, как ей меняться дальше: скорость изменения искомой величины y(x) в точке x = x0 должна быть равна f(x0,y0). Продвинувшись в соответствии с этим на некий микроскопический шажок Dx, мы попадем в точку x1 = x0+Dx, где значение функции будет неотличимо от того, что получается с помощью первого дифференциала:

y(x1) = y(x0)+Dy » y0+y'(x0)Dx = y0+f(x0, y0)Dx.

Но в точке x = x1, y = y1 данное уравнение вновь определяет скорость y' следующего шажка на Dx! Как будто ясно, что в пределе при Dx ® 0 должна получиться вполне определенная траектория: y = y(x) - такая, что y(x0) = y0 - т.е. проходящая через данную начальную точку или, как говорят, удовлетворяющая данным начальным значениям. Это возможно строго доказать при некоторых ограничениях на функцию f(x, y), стоящую в правой части уравнения (их-то и нарушает правая часть в примере п. 1.2).

1.4. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ для дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть дан открытый прямоугольник G = {(x;y) | x1<x<x2, y1<y<y2}, и функция f(x,y), непрерывная на всюду в G и имеющая непрерывную производную . Тогда для каждой точки (x0;y0) области G существует единственное решение уравнения y' = f(x,y), удовлетворяющее условию y(x0) =x0.

1.5. А как обстоит дело дифференциальных уравнений более высоких порядков? Точная формулировка здесь такова:

ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ для дифференциального уравнения n-го порядка.

Пусть дан (n+1)-мерный параллелепипед G = {(x1,…,xn+1) | ai<xi<bi для всех i=1,…,n+1} и функция f (x1,…,xn+1), непрерывная и имеющая непрерывные производные  всюду в области G. Тогда для любой точки (x0;y0;y'0;…;y0(n+1)) области G существует единственное решение дифференциального уравнения

y(n) = f(x, y, y', …, y(n-1)),

удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = y0, y'(x0) = y'0,…, y(n+1)(x0) = y0(n+1).

1.6. Остается заметить, что сочетание дифференциального уравнения

y(n) = f(x, y, y', …, y(n-1))

с начальными условиями y(x0) = y0, y'(x0) = y'0,…, y(n+1)(x0) = y0(n+1) (конечно, порядок n может быть и первым) - такими, чтобы в окрестности точки (x0;y0;y'0;…;y0(n+1)) выполнялись требования к функции f, называется задачей Коши. Теоремы существования и единственности решения пп. 1.4.-1.5. гарантируют для нее единственное решение.

1.7. А если рассматривать зависимость решения дифференциального уравнения n-го порядка от того, как в точке x = x0 задана сама функция y(x0) = y0 и ее производные до (n-1)-го порядка, мы получим семейство решений

y(x, y0, …, y0(n-1)),

включающее n постоянных C1 = y0, C2 = y'0,…, Cn = y0(n-1), которое в пункте 1.2 было названо общим решением.