Название: Установочные лекции по высшей математике - контрольная работа № 6(Глазычев И.Я., Ивлева А.М.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1069


§2. дифференциальные уравнения первого порядка.

2.1. Уже при изучении темы "Интегрирование" обращает на себя внимание характернейшая особенность возникающих задач: в зависимости от подынтегральных функций методы или приемы нахождения первообразных различаются, и сильно; примеры, где два разных способа решения приводят к цели, не редкость; но зато применение к тому же примеру любого из неподходящих методов только запутывает дело. А универсального метода просто не существует - если не считать за таковой следующую процедуру:

точно определить класс, к которому принадлежит объект (пока мы говорим о подынтегральной функции, дальше же объектом будет дифференциальное уравнение);

использовать именно тот подход, который позволяет решить задачу для данного класса объектов.

Заметьте, что первая часть "метода" оказывается принципиально более важной (ведь наряду с описанием новых видов отнесение конкретного экземпляра к известному виду длительное время было главной проблемой таких дисциплин, как ботаника, зоология и минералогия); вторая же часть сводится к аккуратному исполнению инструкций, описанных в учебниках или справочниках.

Поэтому отнеситесь со всем вниманием к вопросу о классе дифференциального уравнения!

2.2. Уравнения с правой частью, зависящей только от значений неизвестной функции.

Именно с таких примеров мы начали рассмотрение дифференциальных уравнений во введении. Итак, нас интересует уравнение вида

y' = g(y).

В соответствии с п. 1.4. мы должны потребовать непрерывной дифференцируемости функции g(y), скажем, на интервале a1<y<a2. Предположим, что при yÎ(a1, a2) функция g(y) не обращается в ноль (ведь при g(y0) = 0 решение y º y0 очевидно, и можно взять yÎ(y0, a2)) - и тогда по теореме о промежуточных значениях g(y) не меняет знака на интервале (a1, a2). Таким образом, функция  определена, непрерывна и даже дифференцируема при yÎ(a1, a2), так что взяв некоторое значение y0Î(a1, a2), мы получим первообразную для функции  в виде

,

которая сама непрерывна и монотонна (ведь  сохраняет постоянный знак!) Но для таких функций существуют обратные - пусть это будет функция F(x):

G(F(x)) = x.

Кроме того,  и , то есть Fx' = g(F(x)) и функция y = F(x) оказывается решением нашего уравнения!

По ходу рассуждения мы трижды ссылались на разумные свойства непрерывных функций.

Если же для уравнения y' = g(y) поставлено начальное условие y(x) = y0 (см. п. 1.6.), то в найденное нами частное решение следует внести небольшое изменение: мы взяли функцию G(y) такую, что

и, таким образом, F(0) = y0. Беря G1(y) = G(y)+x0, мы получаем те же свойства непрерывной функции, и, кроме того, равенство F1(x0) = y0 (так как G1(y0)=x0), обеспечивающее решение задачи Коши.

Пример. Пусть дана задача Коши , y(0) = 1. Область, где ищется решение - положительные значения y.

Итак, G(y) = , откуда .

Заметим, что, во-первых, такое решение y(x) неотрицательно; во-вторых, если бы начальные условия выглядели как y(0) = 2, то нам пришлось бы внести дополнительное слагаемое в разрешающее равенство: , откуда при x = 0, y = 2 получаем , и тогда функция  удовлетворяет новой задаче Коши.

Наконец, более естественной была бы такая запись решения: