Название: Установочные лекции по высшей математике - контрольная работа № 6(Глазычев И.Я., Ивлева А.М.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1069


2.3. уравнения с разделяющимися переменными.

Здесь правая часть уравнения должна быть представлена в виде произведения двух функций: одной, зависящей только от аргумента x, и другой, зависящей только от неизвестной функции y:

y' = f(x) g(y).

Здесь по п. 1.4. функция f(x) должна быть непрерывной, а g(y) должна иметь непрерывную производную. Сопровождая последующие формулы теми же комментариями, что и выше в п. 2.2., получим:

(*)

y = G -1(F(x)+C),

и здесь C подбирается из условия y(x0) = y0, если дана задача Коши; а само это равенство описывает общее решение дифференциального уравнения. Особо отметим равенство (*), оправдывающее название этого класса уравнений: в нем мы действительно разделили переменные.

Пример. Пусть . Правая часть является произведением нужного вида: . Тогда   ydy = -xdx,

,

или x2+y2 = C  - это уравнение всевозможных окружностей.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Здесь в правой части уравнения y’ = f(x,y) должна стоять однородная функция, не меняющаяся при одновременной замене величины y на ky, величины x - на kx при всяком x>0:

f(x,y) = f(kx,ky).

Таких функций немало: , , , , и т.д.

Главное же "достоинство" этих функций в том, что они реально зависят не от каждой из переменных x и y, а только от их отношения  y/x.

В самом деле, отнеся случай x = 0 в "спорную зону" (да ведь это, в конце концов, единственная точка!), возьмем при x>0 в качестве k обратную величину:

а при x<0 положим :

В обоих случаях правая часть зависит от дроби  - ее мы и возьмем в качестве новой неизвестной функции. Итак,

  подставим это в данное уравнение:

xu’ = f (1,u) - u (или xu’ = f (-1,-u) - u),

.

Но это - уравнение с разделяющимися переменными (2.3)!

Остается добавить, что перейти от него к равенству

не теоретически (надо всего лишь предполагать, что f (1,u)>u или f (1,u)<u), но практически может быть сложнее из-за неудобного интеграла по u, да и потом, пытаясь выразить данную неизвестную функцию y(x) из уже не дифференциального уравнения

легко потерпеть неудачу. Остается довольствоваться так называемым решением в квадратурах, т.е. решением, записанным с помощью интеграла - но и это достижение!

Пример. Решить задачу Коши , y(0) = 1 (почему, кстати, нельзя запрашивать y(0) = 0?)

Однородность правой части очевидна, и легко представить ее как функцию от дроби u = y/x, просто поделив и числитель, и знаменатель на x2:

, откуда вышеуказанной заменой получаем:

Это общее решение; подставив сюда начальные условия, получим C = 0; окончательно:

2y2lny = x2

Это и будет ответом, поскольку выразить переменную y как элементарную функцию от x невозможно.

Линейное уравнение первого порядка и уравнение Бернулли.

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, правая часть которого линейна как функция от y - а ее коэффициентами могут быть любые непрерывные функции, зависящие от x:

y’ = f (x)y + g(x).

Решение ищется в виде y(x) = u(x)v(x), т.е. вместо одной неизвестной функции вводится две; зато для каждой из них получается более простое уравнение:

y’ = u’ v + v’ u = f (x)uv + g(x)

Приравняем теперь слагаемые попарно:

Почему это правомерно? Просто потому, что если нам удастся получить решение таким образом, то теорема 1.4. удостоверит его законность - т.е. единственность (конечно, с точностью до неопределенной постоянной!)

Возьмемся сперва за верхнее из полученной пары уравнений и сократим его на общий множитель v ("законность" операции устанавливается, как и выше):

u’ = f (x)u.

Это - уравнение с разделяющимися переменными, причем функция u легко выражается в квадратурах:

Теперь второе уравнение также легко сводится к интегралу:

v’ = F-1(x)g(x),

v =

и, таким образом,

"Интеграл от интеграла" здесь не должен смущать: когда приходится брать интеграл для v(x), интеграл для u(x) уже взят (если, конечно, он "берется"...).

Пример. Найти общее решение уравнения

y’ = 2xy + .

Это уравнение отличается от линейного, на первый взгляд, весьма существенно: множителем yn при функции g(x).

При n¹0 и n¹1 получается уравнение Бернулли. Зато метод решения практически тот же, что и при линейной правой части!

u’ = 2xu,

v’ = v2,

 - это и есть ответ.

Остается принять к сведению два термина.

Метод вариации произвольной постоянной, излагающийся во многих курсах, оказывается просто иной формой записи для той замены искомой функции, которая была изложена выше. А слово "однородное" в сочетании с "линейное уравнение" никак не связано с однородными уравнениями п.2.4. и означает линейное уравнение с нулевым свободным членом g(x)º0:

y’ = f (x)y.