Название: Установочные лекции по высшей математике - контрольная работа № 6(Глазычев И.Я., Ивлева А.М.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1012


2.6. уравнения в полных дифференциалах.

Этот класс дифференциальных уравнений первого порядка стоит несколько особняком. Форма записи уравнения здесь такова:

p(x,y)dx + q(x,y)dy = 0.

Является ли левая часть полным дифференциалом функции F(x,y)? Если да, то уравнение F(x,y) = C, вполне равносильное уравнению dF(x,y) = 0, представляло бы неизвестное y как неявную функцию от x. Но если это так, то множители в левой части при дифференциалах dx и dy должны быть частными производными функции F(x,y):

И тогда смешанная производная второго порядка может быть выражена и через p(x,y), и через q(x,y), в силу независимости смешанной производной от порядка дифференцирования. Это должно приводить к одному и тому же результату:

Второе равенство является необходимым условием того, что левая часть данного дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Можно доказать (мы этого делать не будем), что при условии непрерывной дифференцируемости функций p(x,y)  и q(x,y) оно является и достаточным.

А решение таково:

Необходимость прибавления неизвестной функции C(y) вместо неопределенной постоянной очевидна из того, что при нахождении частной производной  это слагаемое обратилось бы в ноль. А найти C(y) можно, взяв другую частную производную:

,

и теперь .

Заметьте, что разность, стоящая в квадратных скобках, не должна зависеть от x - за это и отвечает условие ; если же зависимость от x сохранилась, то где-то была допущена ошибка!

Пример. Найти общее решение уравнения

(ex(x + y + 1) + ey)dx + (ey(x + y +1) + ex)dy = 0.

Условия, определяющие этот класс, выполняется:

.

Теперь

.

Далее, .

Приравняв это к функции q(x,y), получим

.

Окончательно,  - общее решение уравнения, определяющее переменную y как неявную функцию аргумента x.