Название: Установочные лекции по высшей математике - контрольная работа № 6(Глазычев И.Я., Ивлева А.М.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1057


§3. дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

 

Здесь мы обсудим некоторые возможности сведения дифференциального уравнения второго порядка к двум последовательно решающимся уравнениям первого порядка. Конечно, порядок исходного уравнения может быть и выше, и там, где это возможно, мы сделаем соответствующее обобщение.

 

Уравнения, не содержащие явно неизвестной функции.

Это уравнения вида

 

или, разрешая относительно второй производной,

Если на первом этапе считать неизвестной функцией первую производную,  то вторая выражается как  и, тем самым, получается уравнение первого порядка:

Предположим, что мы нашли его общее решение , тогда на втором этапе остается решить уравнение  т.е. просто взять неопределенный интеграл:

Пример. Найти

а) общее решение, б) частное решение, удовлетворяющее начальному условию :

.

Как и предписывалось выше, сначала мы решим уравнение

.

Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными:

Возвращаясь к исходной функции,  .

Любопытно, что теперь первообразная существенно зависит от того, какое значение принимает постоянная С:

1) при С > 0 положим , и тогда

2) при

3) при

 

.

Если же решать задачу Коши, то второе начальное условие  будет означать, что z(1) = 1 и, тем самым, С = 0 и , откуда из условия y(1) = 1 получаем и С1 = 0.

 

3.2. Все изложенное в п. 3.1. допускает естественное обобщение на случай уравнения n-го порядка, не содержащего неизвестной функции y и ее младших производных :

Введя новую переменную z = y(k) и подставив z(m) = y(k+m),  получим уравнение порядка

Если найдено его общее решение

то остается k раз взять неопределенный интеграл - а насколько каверзна эта задача, можно представить из примера 3.1.