Название: Установочные лекции по высшей математике - контрольная работа № 6(Глазычев И.Я., Ивлева А.М.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1069


3.3. уравнения, не содержащие явно аргумента.

Это уравнения вида

.

Мы можем здесь взять первую производную за новую неизвестную функцию аргументу:

Как в этом случае преобразовать вторую производную? По правилу дифференцирования сложной функции:

Теперь данное уравнение становится дифференциальным уравнением первого порядка:

Если найдено его общее решение  то общее решение исходного уравнения может быть получено из дифференциального уравнения , относящегося к типу 2.1.

Пример. Найти общее решение уравнения  Сначала решим его методом 3.2.: взяв  получим уравнение

Это решение, зависящее от трех произвольных постоянных, не является общим: когда мы делили обе части уравнения на z2, мы должны были отдельно рассмотреть возможность

Если же считать это уравнение не содержащим явно аргумента x, то возникает вопрос, как преобразовать третью производную? Так же , как и вторую: с помощью операторного равенства

Итак:  Если  если же нет, сократим на p2:

 

Это уравнение не содержит аргумента y, так что можно взять

Прежде чем сократить на q, рассмотрим случай

Если  Это уравнение 2.2 с разделяющимися переменными:

Но это "далее" приведет к трансцендентному уравнению, связывающему переменные p и y:  и, вернувшись к переменной  мы не обнаружим эффективных способов решения такого уравнения первого порядка. Это следует иметь в виду: при наличии нескольких формальных путей решения дифференциального уравнения некоторые могут оказаться тупиковыми.