Название: вероятностные модели режимов ээс(Гамм А.З)

Жанр: Информатика

Просмотров: 1569


1.3. приближенное вычисление числовых характеристик параметров

установивишихся режимов

Теоретические сведения

Приближенное определение математического ожидания функции случайной величины Y = j(X) может быть сделано по формуле

Дисперсия функции случайной величины Y = j(X) приближенно определяется на основе линеаризованной зависимости по формуле

.

Для функции двух переменных Z = j(X,Y):

и

Упражнения

Упражнение 1

Две электрические системы связаны линией электропередачи с номинальным напряжением 220 кВ. Длина линии l = 250 км, удельное реактивное сопротивление x0 = 0,41 Ом/км. Напряжения по концам линии поддерживаются постоянными и равными

U1 = U2 = 220 кВ. Угол сдвига d между векторами напряжений U1 и U2 является случайной равномерно распределенной величиной в интервале . Пренебрегая активным сопротивлением и емкостью линии, определить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение передаваемой мощности.

Вычисления

Сопротивление линии:

Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение угла d соответственно равны .

Приближенные формулы для математического ожидания и дисперсии передаваемой мощности по линии:

.

В результате получаем:

Упражнение 2

В результате расчета получены математические ожидания, среднеквадратические отклонения и коэффициент корреляции вещественной и мнимой составляющих напряжения U¢ и U¢¢ на шинах нагрузки:

M [U¢] = 209 кВ, M [U¢¢] = -24 кВ,

sU¢ = 9 кВ, sU¢¢ = 3 кВ, r U¢, U¢¢ = 0,92.

Вычислить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение модуля напряжения.

Вычисления

Модуль напряжения вычисляется по формуле .

Первые производные от U по U¢ и U¢¢:

Вторые производные от U по U¢ и U¢¢:

.

Математическое ожидание модуля напряжения:

Дисперсия модуля напряжения:

Упражнение 3

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение напряжения в конце линии 220 кВ, если сопротивления линии R и X являются случайными величинами. Зарядной мощностью линии пренебречь.

Сопротивления R и X имеют числовые характеристики:

M[R] = 12,1 Ом, M [X] = 43,5 Ом.

sR = 2,5 Ом, sX = 3,3 Ом.

Нагрузка в конце линии 160 + j×90 МВ×А, напряжение в начале линии 240 кВ.

Ответ: M [U] = 217 кВ, D [U] = 0,119 кВ2, sU = 0,346 кВ.

Упражнение 4

Вычислить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение потерь мощности в линии с сопротивлением

8 Ом, если случайными величинами являются активная и реактивная мощность, протекающие по линии.

M [P] = 200 MВт, M [Q] = 120 Мвар,

sP = 30 МВт, sQ = 23 Мвар, r P, Q = 0,6.

Напряжение принять равным номинальному значению 220 кВ.

Ответ: M [DP] = 8,99 МВт, D [DP] = 6,94 МВт2, sDP =

= 2,63 МВт.

Упражнение 5

По линии электропередачи питаются две нагрузки 1 и 2, рис. 1.2.

Вычислить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение суммарных потерь мощности в сети, если известно, что мощности обеих нагрузок являются случайными величинами с числовыми характеристиками:

M[P1] = 25 МВт; sP1 = 4 МВт;

M[Q1] = 20 Мвар; sQ1 = 3 Мвар;

M[P2] = 50 МВт; sP2 = 6 МВт;

M[Q2] = 30 Мвар; sQ2 = 5 Мвар.

Корреляционная матрица (матрица коэффициентов корреляции) для этих случайных величин

Номинальное напряжение сети 110 кВ, сопротивления участков линии R1 = 6 Ом и R2 = 5 Ом.Ответ: M [P] = 3,87 МВт,

D [P] = 0,967 МВт2, P = 0,983 МВт.

Задачи

Задача 1. регулирование напряжения в электрической

сети при случайном характере нагрузки

В узле нагрузки оценить уровни напряжения и определить требования к средствам регулирования напряжения.

Условия и ограничения

Центр питания (ЦП) связан с помощью питающей ЛЭП и понижающим трансформатором с узлом нагрузки (рис.1.3), в котором имеется большое число мелких потребителей со случайным характером электропотребления.

 

Рис.1.3. Схема питания узла нагрузки

Известны установленные мощности всех электроприемников, однако событие, когда одновременно все электроприемники включены и работают с наибольшей мощностью, является практически невозможным.

В соответствии с теоремой Ляпунова, сумма бесконечного числа случайных величин при определенных условиях подчиняется нормальному закону распределения. В практических случаях с достаточной точностью можно принять, что нормальному закону подчиняется и сумма большого, но конечного числа случайных величин, в данном случае суммы активных и реактивных мощностей. Следует также оговорить тот факт, что P и Q потребителей, как правило, коррелируют с большим значением коэффициента корреляции (порядка 0,8...1,0). Таким образом, для любого момента времени в случайном процессе изменения мощности нагрузки имеется двухмерный нормальный закон распределения системы случайных величин P и Q.

Задание

Для режима максимальных нагрузок следует выяснить необходимость установки дополнительных средств регулирования напряжения, кроме имеющегося устройства РПН понижающего трансформатора. При этом следует иметь в виду, что напряжение на шинах низкого напряжения (НН) понижающего трансформатора в соответствии с принципом встречного регулирования напряжения должно быть в пределах (1,05...1,10) Uном.

Современные устройства РПН в основном позволяют регулировать напряжение в пределах ±15 \% от Uном, т. е. для достижения нижней границы 1,05 необходимо иметь относительное значение напряжения на шинах НН не ниже (1,05…0,15) = 0,9.

С учетом случайного характера нагрузок, а следовательно и напряжений, следует оценить вероятность события, когда напряжение оказывается ниже указанного уровня: P(U* < 0,9).

В расчетах можно не пользоваться относительными величинами, а вычислять напряжение  напряжение технически несуществующей точки в трансформаторе, но используемой в электрической модели трансформатора (рис. 1.4).

 

Рис.1.4. Схема замещения электрической сети

Сопоставляя область возможных изменений напряжения  со значением 0,9Uном, можно оценить вероятность появления ситуации, когда устройством РПН невозможно поднять напряжение до требуемого уровня. В таких случаях требуется установка дополнительных средств регулирования.

Указания к выполнению

Для вычисления вероятности попадания напряжения в область удовлетворительных значений требуется найти закон распределения вероятностей напряжения. Поскольку закон распределения узловых мощностей известен, а все другие параметры, входящие в математическую модель установившегося режима, являются детерминированными, здесь имеется задача по функциональному преобразованию системы одних случайных величин (P, Q) в другую, например (U', U'') - вещественная и мнимая составляющие комплекса напряжения.

2. Одним из методов решения задачи функционального преобразования системы случайных величин является метод статистической линеаризации. Используя линеаризованное преобразование случайных величин, можно при относительно небольших дисперсиях случайных величин приближенно считать закон распределения узловых напряжений также нормальным. Для определения числовых характеристик напряжений в узлах электрической сети можно воспользоваться следующим способом.

1) Математические ожидания напряжений находятся обычным способом, как при детерминированном задании данных, например известным методом "в два этапа" при счете без программы или по любой программе расчета установившегося режима электрической сети.

2) Дисперсии напряжений определяются по линеаризованной зависимости с использованием матрицы частных производных первого порядка - матрицы Якоби. Все соотношения, позволяющие найти дисперсию модуля напряжения узла нагрузки, приводятся ниже. По некоторым соображениям уравнения баланса мощности в узле нагрузки, по которым берутся производные, расположены в порядке: в начале уравнения для Q, затем для P

Матрица Якоби:

где

Ковариационная матрица напряжений

Ковариационная матрица мощностей имеет вид

Элементы обратной матрицы A-1 можно вычислить по соотношениям:

Матрица R [U',U''] является симметричной и имеет структуру

Для модуля напряжения  формула для определения дисперсии по линеаризрванной зависимости:

Задача 2. оценка погрешностей в расчетах

установившихся режимов электрических систем

Оценить погрешность вычислений напряжения и потерь мощности в электрической сети, вызванную погрешностями параметров математических моделей элементов ЭЭС.

Условия и ограничения

Питающая ЛЭП 220 кВ соединяет ЦП с понижающей подстанцией 220/10 кВ (рис. 1.5). Заданная мощность нагрузки на НН подстанции, представлена неслучайной величиной.

Рис.1.5. Схема сети 220/10 кВ

Для режима максимальных нагрузок требуется оценить влияние погрешностей в параметрах схемы замещения сети (ЛЭП и трансформатора) на результаты расчета режима, а именно на величину напряжения, тока в линии и потерь активной мощности.

Данные о возможных погрешностях параметров сети приведены в табл. 1.1.

Оценка влияния погрешностей параметров электрической сети на результаты расчета режимов ЭЭС может быть сделана методом статистической линеаризации на основе данных исследований о погрешностях параметров сети (табл. 1.1). С этой целью рассчитываются числовые характеристики режимных параметров.

Таблица 1.1

Значения погрешностей параметров математических моделей

для элементов электрических систем, \%

Погрешности

Линии электропередачи

Трансформаторы

R

X

G

B

R

X

G

B

Диапазон

изменения

–20

+20

–6

+3

–20

+40

–4

+20

–16

+20

–15

+20

–12

+24

–15

+45

Систематическая ошибка

+2

–1,5

+10

+8

+2

0

+6

+6

Среднеквадратическое отклонение

6

1,5

10

4

6

5

5

10

 

1. Математические ожидания рассчитываются по обычным соотношениям, как и в детерминированной постановке. Эти характеристики понадобятся для расчета дисперсий.

2. Дисперсия напряжения рассчитывается по линеаризованной зависимости по формуле

Дисперсия потерь мощности – по линейной зависимости:

Ток и напряжения в этих формулах являются математическими ожиданиями соответствующих величин.

Указания к выполнению

1. Для упрощения расчетов при определении математических ожиданий параметров режима пренебречь проводимостью ЛЭП и потерями холостого хода трансформатора.

2. Дисперсии эквивалентных сопротивлений схемы сети определить как сумму дисперсий сопротивлений ЛЭП и трансформатора.

3. Величины вероятных погрешностей режимных параметров определить из каких-либо предположений об их законе распределения.

4. По результатам расчета сделать выводы, ответив на вопросы:

а) Насколько велика вероятная погрешность в определении U и DP при учете погрешностей параметров математических моделей элементов электрической сети?

б) В каком случае для данной электрической сети целесообразно учитывать погрешности в данных?