Название: Исследование и проектирование механизмов технологических машин - (Подгорный Ю. И., Афанасьев Ю. А.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1069


3.1. крутильные и изгибные колебания для многомассовых и статически неопределимых систем

На основании выводов второй главы систему батана можно представлять подбатанным валом с моментами инерции, расположенными в местах закрепления на нем лопастей. Исследования усложняются тем обстоятельством, что в разные периоды работы механизма прибоя уточных нитей будут иметь место и разные расчетные модели. Привод к системе батана осуществляется посредством кулачков, выполненных на геометрическое замыкание. При этом одним из условий сборки механизма служит гарантированный зазор в паре кулачок – ролик. При условии гарантированного зазора для момента времени, обеспечивающего начало выстоя рабочему звену, расчетная модель может быть представлена со свободными концами (рис. 3.1). Во время работы рабочая поверхность профиля кулачка контактирует с роликом, который закреплен с помощью осей в проушинах, жестко соединенных с валом. В моменты прямого и обратного движения ведомой массы необходимо рассматривать приведенную расчетную модель с заделками в местах расположения проушин, поскольку жесткости проушин значительно превосходят жесткость подбатанного вала (рис. 3.2). Необходимо учитывать и изменение размеров подбатанного вала в связи с переменой контактирующих поверхностей кулачков с роликами.

В работе предложен метод определения частотных характеристик методом цепных дробей (метод В. П. Терских [5]). Он основан на том, что исследуемая система приводится к безразмерному виду, причем уравнение частот этой системы получается в виде цепной дроби (рис. 3.1, а, б, в).

Расчетная схема крутильно-колеблющейся системы является безразмерной . Она в общем случае состоит из n масс с моментами инерции J1, J2, ..., Jn, соединенных между собой безынерционным валом, имеющим на участках между массами жесткости Сij.

а

б

в

Рис. 3.1. Эквивалентная расчетная схема системы батана для определения частот

свободных крутильных колебаний: а – схема со свободными концами; б – схема с

заделками с двух сторон; в – схема с заделкой с одной стороны. Ji – моменты инерции

масс; JA, JB, JC, JD – моменты инерции начальных и последних масс;

Сij – жесткости промежуточных участков

На первом этапе исследований крутильных колебаний полагаем, что трение в системе отсутствует, а все нелинейные элементы системы линеаризованы. Последнее предполагает колебания с малыми амплитудами. Для каждой из масс, изображенных на рис. 3.1, можно записать свое дифференциальное уравнение движения. Если обозначить через φА, φB, …, φD – мгновенные углы поворота масс относительно некоторого начального положения, то произведения CA,B(φA – φB); CB,1(φB – φ1); …; CC,D(φC – φD) будут представлять моменты сил упругости для этих участков, действующие на массы с моментами инерции JA, JB, …, JD соответственно. Дифференциальные уравнения движения для последовательных масс можно записать так:

              (3.1)

Складывая уравнения движения каждой массы, входящие в систему (3.1), получим

         .   (3.2)

Из уравнения (3.2) следует, что в процессе собственных колебаний момент количества движения системы относительно оси вала остается постоянным. Из системы дифференциальных уравнений (3.1) можно найти все n собственных частот крутильных колебаний системы, соответствующих главным формам колебаний.

Общее решение системы (3.1) имеет вид

         , (3.3)

где Аi – амплитуда колебаний i-й массы; ζ i – фазовый угол; ωCi – частота собственных колебаний системы.

Амплитуды колебаний системы связаны между собой, это легко показать из решения уравнения (3.1), подставляя в него частные решения вида

               

После сокращения каждого из уравнений (3.1) на общий множитель sin(ωCit +ζ) и соответствующего преобразования будем иметь

                         (3.4)

Из уравнений (3.4) определяем n-1 из n амплитуд.

Обозначив моменты сил упругости участков через М1,2; М2,3;…;

Мn-1,n, а относительные амплитуды угловых колебаний масс через

a1, a2,…, an, из системы уравнений (3.1) получим систему алгебраических уравнений

                (3.5)

Метод состоит в решении частотного уравнения (3.5) в виде цепной дроби с помощью пробных подстановок. Сущность этого метода заключается в определении величины эквивалентной динамической жесткости с помощью цепной дроби. Следует иметь в виду, что при собственных колебаниях Mn,n-1=0.

Так для системы, приведенной на рис. 3.1, а, при замене

         JA = J1; JB = J2; JC = Jn1; JD = Jn;

         CAB = C1,2; CB,1 = C2,3; CCD = Сn,n-1; CnC = Cn-1,n-2

получим

                    (3.7)

         .

         .

С помощью уравнения (3.7) можно определить все n частот.

Для системы, показанной на рис.3.1, б, получим

                     (3.8)       

         .

         .

где С0,1 = СF,1; Сn-1,n = Cn,H.

Для системы, приведенной на рис. 3.1, в:

                        (3.9)

         .

         .

где C0,1 = CF,1.

Рис. 3.2. Блок-схема программы для определения

собственных частот крутильных колебаний систем

Частоты свободных колебаний определялись на ЭВМ, блок-схема программы приведена на рис. 3.2. В связи с тем, что конструкция батанного механизма зависит от наличия приводных кулачков и ширины заправки, расчетные модели, показанные на рис. 3.1, можно рассматривать только как типовые представители. В программе предусмотрены различные вариации моментов инерций, начальных условий закрепления. На основании полученных значений построены графики (рис. 3.3).

На схеме цифрами обозначены точки, которые должны рассматриваться как общие в блок-схеме, стрелки указывают на направление последовательности хода ведения расчетов.

 

Рис. 3.3. Графики изменения частот свободных колебаний при кручении

системы батана в зависимости от ширины заправки:

1 – для модели с закреплением концов с двух сторон;

2 – для модели со свободными концами

Графики (рис. 3.3) указывают на то, что в зависимости от конструктивного исполнения механизма прибоя уточных нитей частоты с идентичным закреплением концов отличаются незначительно, но имеют ощутимые отличия при условии изменения начальных параметров закрепления. Как видно из приведенного расчета, в разные периоды времени работы механизма в соответствии с цикловой диаграммой станка частоты свободных колебаний будут иметь существенные отличия даже для одного типоразмера, что необходимо учитывать при проведении динамических расчетов механизмов подобного типа.

Для определения изгибных колебаний подбатанного вала, эквивалентного системе батана, рассмотрим схему, показанную на рис. 3.4. Эта схема является общей и позволяет рассчитывать частоты свободных колебаний независимо от количества приводных кулачков для батана.

Рис. 3.4. Расчетная схема подбатанного вала на изгибные колебания

Дифференциальные уравнения движения системы с несколькими степенями свободы записываются в матричном виде [5]:

             (3.10)

где [δ ] – матрица коэффициентов влияния перемещений; [m] – матрица инерционных коэффициентов (масс).

Матрица коэффициентов влияния имеет следующую структуру:

         .             (3.11)

Элементы матрицы δij определяются на основании [5] методом Максвелла–Мора:

         .                (3.12)

Матрица инерционных коэффициентов при обратном способе записи дифференциальных уравнений движения масс имеет диагональную структуру:

         .                (3.13)

Решение уравнения (3.10) имеет следующий вид:

         ,             (3.14)

где j-я обобщенная координата определяется как функция времени:

                 (3.15)

где Αj – амплитуда колебаний j-й массы; ω – круговая частота свободных колебаний; φ0 – начальная фаза колебаний.

Введя обозначения 1/ω2 =λ, уравнение движения можно записать в виде

            (3.)

или

            (3.17)

Ε – единичная матрица.

Как известно из теории матриц, определение значений λi сводится к определению собственных значений матрицы C = [δ][m].Определив значение λi и расположив их в порядке убывания, находим спектр собственных частот изгибных колебаний в виде (Гц)

         .       (3.18)

В соответствии с изложенной методикой разработаны алгоритм и программы для расчетов спектра собственных частот. Результаты расчетов приведены в виде графиков на рис. 3.5. Блок-схема программы показана на рис. 3.6.

 

Рис. 3.5. График изменения частот свободных колебаний при изгибе системы батана

для бесчелночных ткацких станков СТБ