Название: Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление - сборник задач (Кадомская К.П.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1118


2.1. основные теоремы операционного исчисления

Типовые задачи с решениями

2.1.1. Найти изображение функции, показанной на рис. 2.1, пользуясь теоремой запаздывания.

 

Подпись: t

 

 

Рис. 2.1. График заданной функции (а) и ее представление в виде суммы

двух непрерывных функций (б)

 

     Решение. Приведенный импульс может быть представлен в виде суммы двух непрерывных функций:

,

где

     Изображение заданной функции будет

.

     Если заданная функция является периодической (рис. 2.2) с периодом , то ее изображение будет

££.

 

Рис. 2.2. Периодическая функция

     2.1.2. Пользуясь теоремами подобия, смещения, дифференцирования и интегрирования изображений, найти изображения заданных функций.

     2.1.2.1. С помощью теоремы подобия найти изображение функции .

     Решение. Заменив в операционном соответствии параметр p на , получим

.

 

     2.1.2.2. С помощью теоремы смещения найти изображение функции .

     Решение. Поскольку , заменяя p на , получаем

.

 

     2.1.2.3. С помощью теоремы дифференцирования изображений найти изображение функции .

     Решение. Так как , то

.

 

     2.1.2.4. С помощью теоремы интегрирования изображений найти изображение функции, называемой интегральным косинусом:

.

Так как

,

то

.

 

     2.1.3. Пользуясь теоремой свертывания, формулой обращения Римана–Меллина или второй теоремой разложения Хевисайда, найти оригиналы, отвечающие заданным изображениям.

     2.1.3.1. С помощью теоремы свертывания найти оригинал, отвечающий изображению .

     Решение. Оригиналы, отвечающие сомножителям, будут

.

     Следовательно, оригинал, отвечающий , определится как

,

где  – функция Лапласа.

     2.1.3.2. Найти оригинал, отвечающий изображению , используя формулу обращения Римана–Меллина.

     Решение. Оригинал, отвечающий заданному изображению, можно найти как сумму вычетов функции  в ее особых точках:

     2.1.3.3. С помощью второй теоремы разложения Хевисайда найти оригинал, отвечающий изображению

.

     Поскольку полюса простые, оригинал изображения  может быть найден как сумма вычетов функции  в простых полюсах (частный случай формулы обращения Римана–Меллина):

Задачи для самостоятельного решения

по подразделу 2.1

 

З а н я т и е  11

 

     Задача № 1. Найти изображения заданных функций , используя теорему запаздывания.

 

Номер варианта

Функция

Номер варианта

Функция

 

 

1

t

 

t

 

 

 

10

t

 

 

 

2

t

 

 

 

11

t

 

t

 

 

 

3

t

 

 

 

12

t

 

 

 

4

t

 

t

 

 

 

13

t

 

t

 

Окончание таблицы

Номер варианта

Функция

Номер варианта

Функция

 

 

5

t

 

 

 

14

 

 

t

 

 

 

6

t

 

 

 

15

t

 

t

 

 

 

7

t

 

 

 

16

t

 

t

 

 

 

8

t

 

 

 

17

t

 

 

 

9

t

 

 

 

18

t

 

     Задача № 2. Найти изображение заданной функции , пользуясь теоремами операционного исчисления.

 

Номер

варианта

Номер

 варианта

Номер

варианта

 

1

 

 

7

 

13

 

 

2

 

 

 

8

 

 

14

 

 

3

 

 

9

 

15

 

4

 

 

 

10

 

 

16

 

 

5

 

 

11

 

 

17

 

6

 

12

 

18

 

Задачи № 3 и 4. Найти оригиналы заданных изображений, пользуясь теоремами операционного исчисления.

 

Задача № 3

 

Номер

варианта

Номер

варианта

Номер

варианта

 

1

 

 

7

 

13

 

2

 

 

8

 

14

Окончание таблицы

Номер

варианта

Номер

варианта

Номер

варианта

 

3

 

9

 

15

 

4

 

 

10

 

16

 

5

 

11

 

17

 

6

 

 

12

 

18

 

 Задача № 4

 

Номер

 варианта

Номер

варианта

 

1

 

 

10

 

2