Название: Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление - сборник задач (Кадомская К.П.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1118


1.4. комплексный потенциал плоского электрического поля

Типовые задачи с решениями

     1.4.1. Определить напряженность электрического поля, созданного двумя электродами (рис. 1.9) в точке А.

 

x

 

 

 

iv

 

u

 

а

б

Рис. 1.9. Исходная область (а) и конформно отображенная область (б)

     Решение. Отобразим заданное поле на каноническое поле плоского конденсатора. Отображающий функцией будет

.

     На рис. 1.9, б показаны образы соответственных точек плоскости  z. Вектор напряженности на плоскости w определится как

.

Производная функции w будет

.

Следовательно, вектор напряженности в точке А на плоскости  z  определится как

.

     1.4.2. Определить напряженность электрического поля в точке В, созданного заряженной длинной нитью с линейной плотностью заряда t, подвешенной внутри заземленного короба с конфигурацией, показанной на рис. 1.10, а. Отобразим заданное поле на каноническое поле, создаваемое заряженной длинной нитью, подвешенной над заземленной плоскостью.

 

 

i sh

 

(–1)

 

а

б

Рис. 1.10. Исходная область (а) и конформно отображенная область (б)

     Отображающая функция будет

.

     Напряженность электрического поля на канонической плоскости (рис. 1.10, б) определится как

.

     В точке В

.

     Производная функции  в точке B при , . Следовательно, напряженность в точке B на плоскости z определится как

.

Задачи для самостоятельного решения

по подразделу 1.4

З а н я т и е  9

 

     Определить напряженности электрического поля в заданных точках области на плоскости z.

 

Номер варианта

Область на плоскости  z

Точки, в которых определяется

1

Верхняя полуплоскость с выброшенным полукругом . Длинная нить с линейной плотностью заряда t помещена в точке

 

 

Продолжение таблицы

Номер варианта

Область на плоскости  z

Точки, в которых определяется

 

2

Угол . Потенциал электрода  равен U, потенциал электрода  нулевой (в начале координат электроды изолированы друг от друга, причем размерами изоляции можно пренебречь)

 

3

Правая полуплоскость . Электрод , находится под потенциалом U, потенциал электрода  – (–U) (в начале координат электроды изолированы друг от друга; размерами изоляции можно пренебречь)

 

 

 

4

Угол . Длинная нить с плотностью заряда t помещена в точке . Границы области заземлены

 

 

 

5

Полоса . Длинная нить с линейной плотностью заряда помещена в точке . Границы области заземлены

 

 

 

6

Угол . Длинная нить с линейной плотностью заряда помещена в точке . Границы области заземлены

 

7

Верхняя полуплоскость  с выбранным полукругом . Длинная нить с линейной плотностью заряда помещена в точке

 

8

Верхняя полуплоскость  с выброшенным полуэллипсом. Длинная нить с линейной плотностью заряда расположена в , уравнение эллипса  . Границы области заземлены

 

 

Продолжение таблицы

Номер варианта

Область на плоскости  z

Точки, в которых определяется

9

Плоскость z с электродами в виде двух выброшенных лучей (разрезов), находящихся под потенциалами U (луч в первом квадранте , ) и –U (луч в третьем квадранте , )

 

 

 

10

Угол . Длинная нить с линейной плотностью заряда t  расположена в точке . Границы области заземлены

 

11

Область вне кругов  и . Потенциал на первой окружности равен U1, на второй –U2.

 

12

Область в виде угла с заземленными сторонами. Длинная нить с линейной плотностью заряда  t  и радиусом  r0  расположена в точке

 

 

13

Заземленный короб с границами   . Длинная нить с линейной плотностью заряда t помещена в точке

 

 

 

14

Круг . Длинная нить с линейной плотностью заряда  t  помещена в точке . Граница области в виде окружности на плоскости  z  заземлена

 

15

Круг . Длинная нить с линейной плотностью заряда t помещена в точке . Граница области в виде окружности на плоскости  z  заземлена

 

16

Область вне кругов  и . Потенциалы:

 

Окончание таблицы

Номер варианта

Область на плоскости  z

Точки, в которых определяется

17

Верхняя полуплоскость  с разрезом по оси мнимых . Граница области заземлена. Длинная нить с линейной плотностью заряда  t  помещена в точке

 

18

Область вне кругов  и . Потенциалы: