Название: Специальные главы математики Ч.1 - Учебное пособие (В. С. Чередниченко, Р. П. Герман, Р. А. Бикеев.)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1083


3.6. использование трехчленных формул для производных

Метод конечных разностей при решении краевой двухточечной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка дает более точные результаты, если на границах отрезка (в точках x=a и x=b) воспользоваться так называемыми трехчленными формулами для производных первого порядка. Для вывода этих формул положим y0=y (x0), y1=y (x0+h), y2=y (x0+2h) и, используя формулу Тейлора, запишем систему уравнений:

.                                                    (3.20)

Решив систему (3.20) относительно , получим

.                                                                               (3.21)

Аналогично для правой границы отрезка положим yn=y (xn), yn-1=y (xn-h),

 yn-2=y (xn-2h) и, используя формулу Тейлора, запишем систему уравнений:

.                                              (3.22)

Решив систему (3.22) относительно , получим:

.                                                                           (3.23)

Используя (3.21) и (3.22), запишем краевые условия на левом и правом концах отрезках:

,                                                     (3.23)

.                                                  (3.24)

Используя первое краевое условие (3.23) и второе уравнение системы (3.9), запишем систему двух уравнений:

,                             (3.25)

где          a1=1–p0×h+q0×h2, b1=p0×h–2,            c1=1,       d1=f0×h2.

Выразим из каждого уравнения системы (3.25) y2:

.

Приравняем правые части этих выражений и решим полученное уравнение относительно y0. В результате получим:

.

Следовательно, выражения (формулы) для прогоночных коэффициентов A0 и B0 имеют вид:

.                         (3.26)

Используя второе краевое условие (3.24) и формулы yi=Ai×yi+1+Bi, запишем систему уравнений:

                                     (3.27)

Исключив из системы уравнений (3.27) yn-1 и yn-2, найдем yn:

.                                   (3.28)

Алгоритм решения краевой двухточечной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с использованием трехчленных формул для производных первого порядка на границах отрезка не отличается от алгоритма при использовании двучленных формул.

Следует заметить, что использовать трехчленные формулы имеет смысл только в том случае, если коэффициенты a1 и (или) b1 в краевых условиях (3.4) не равны нулю. Ниже приведены результаты решения краевой двухточечной задачи для уравнения  при краевых условиях . Очевидно, что в данном случае a1=1, а b1=0.

Анализируя результаты в таблице 3.3, видно, что максимальная относительная погрешность решения eотн=|yi-yi*|/yi* при использовании обычных конечно-разностных отношений и двучленных формул имеет место на левом конце отрезка и постепенно уменьшается к правому концу отрезка. Это связано с тем, что a1=1, а b1=0.

Таблица 3.3

Результаты решения краевой задачи для обыкновенного

дифференциального уравнения второго порядка

 при краевых условиях

 с использованием обычных

конечно-разностных отношений и двучленных формул для

производных первого порядка на границах отрезка

i

xi

yi

yi*

ei=|yi-yi*|

eiотн\%

0

0.0

1.118

1.061

5.74×10-2

5.4

1

0.1

1.230

1.172

5.79×10-2

4.9

2

0.2

1.364

1.305

5.92×10-2

4.5

3

0.3

1.521

1.461

6.08×10-2

4.2

4

0.4

1.704

1.642

6.22×10-2

3.8

5

0.5

1.917

1.854

6.27×10-2

3.4

6

0.6

2.164

2.103

6.14×10-2

2.9

7

0.7

2.455

2.398

5.71×10-2

2.4

8

0.8

2.800

2.752

4.76×10-2

1.7

9

0.9

3.214

3.184

3.02×10-2

0.9

10

1.0

3.718

3.718

0.0

0.0

Наиболее точные результаты при a1¹0 и (или) b1¹0 получаются при решении краевой двухточечной задачи с использованием центральных конечно-разностных отношений и трехчленных формул для производных первого порядка на концах отрезка (табл.3.4).

При этом формулы (3.26) и (3.28) остаются силе, меняются только выражения для ai, bi, ci, di; в частности a1=2–h×p1, b1=2(q1×h2–2), c1=(2+h×p1), d1=2h2×f1.

Для сравнения в последней графе таблицы 3.4 приведены значения, полученные табулированием аналитического решения уравнения y=x+ex. Значения y*, полученные конечно-разностным методом при шаге разбиения отрезка h=0.05, практически не отличаются от значений, полученных при аналитическом решении.

Относительная погрешность численного решения данной задачи при использовании центральных конечно-разностных уравнений и трехчленных формул для производных первого порядка на границах отрезка не превышает 0.07\% при x=0.3.

Таблица 3.4

Результаты решения той же задачи с использованием центральных

конечно-разностных отношений и трехчленных формул

i

xi

yi

yi*

ei=|yi-yi*|

eiотн\%

yанал

0

0.0

1.001

1.000

2.89×10-4

0.03

1.000

1

0.1

1.111

1.110

5.56×10-4

0.05

1.110

2

0.2

1.242

1.241

7.61×10-4

0.06

1.241

3

0.3

1.395

1.395

9.10×10-4

0.07

1.394

4

0.4

1.575

1.574

1.00×10-3

0.06

1.574

5

0.5

1.785

1.784

1.03×10-3

0.06

1.784

6

0.6

2.035

2.034

9.97×10-4

0.05

2.033

7

0.7

2.333

2.333

8.81×10-4

0.04

2.332

8

0.8

2.697

2.697

6.75×10-4

0.03

2.696

9

0.9

3.148

3.148

3.75×10-4

0.01

3.148

10

1.0

3.718

3.718

0.0

0.0

3.718

Контрольные вопросы

В чем состоит идея метода конечных разностей для решения двухточечной краевой задачи?

К какой форме необходимо привести обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для решения краевой задачи методом конечных разностей?

К какой форме должны быть приведены краевые условия для решения краевой двухточечной задачи методом конечных разностей?

Как называются точки деления отрезка при использовании метода конечных разностей?

Какими конечно-разностными отношениями заменяются производные первого порядка в узлах отрезка при использовании метода конечных разностей?

Какими конечно-разностными отношениями заменяются производные второго порядка в узлах отрезка при использовании метода конечных разностей?

Какова характерная особенность системы линейных алгебраических уравнений, которая получается в результате замены дифференциального уравнения и краевых условий конечно-разностными уравнениями в узлах отрезка?

Каким методом может быть решена система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов?

В чем состоит основная идея метода прогонки при решении системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов?

Что понимается под прямым ходом в методе прогонки?

Как определяются прогоночные коэффициенты A1 и B1?

Как определяются прогоночные коэффициенты Ai и Bi для i=2, 3,…, n-1?

Как определяется неизвестное xn при использовании метода прогонки?

Что понимается под обратным ходом в методе прогонки?

Каково условие единственности решения системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов методом прогонки?

Каковы основные этапы алгоритма решения двухточечной краевой задачи методом конечных разностей?

Как оценивается погрешность решения двухточечной краевой задачи методом конечных разностей?

Что такое центральное конечно-разностное отношение?

Какими центральными конечно-разностными отношениями заменяются производные первого порядка в узлах отрезка при решении двухточечной краевой задачи?

Какими центральными конечно-разностными отношениями заменяются производные второго порядка в узлах отрезка при решении двухточечной краевой задачи?

Каким центральным конечно-разностным отношением заменяется производная первого порядка на левой границе отрезка при решении двухточечной краевой задачи?

Каким центральным конечно-разностным отношением заменяется производная первого порядка на правой границе отрезка при решении двухточечной краевой задачи?

Как влияет использование центральных конечно-разностных отношений на погрешность метода конечных разностей и почему?

В каких случаях используют трехчленные формулы для производных в граничных узлах отрезка?

Как влияет использование трехчленных формул на погрешность метода конечных разностей при решении двухточечной краевой задачи?