Название: Колебания и волны - Методические указания (Л. Н. Ветчакова)

Жанр: Технические

Просмотров: 1217


Лабораторная работа № 25 вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре

 

Цель работы

 

Изучение вынужденных колебаний и явления резонанса напряжений в последовательном колебательном контуре; изучение зависимости сдвига фаз колебаний от частоты; изучение закона Ома для цепи переменного тока.

 

Методические указания

 

1. Колебательное движение какого-либо физического объекта под действием периодической внешней силы называется вынужденным. Особый интерес представляют вынужденные колебания осцилляторов — систем, способных совершать свободные колебания. При этом может наблюдаться явление резонанса, имеющее исключительно большое практическое значение.

Примером такого осциллятора является последовательный колебательный контур, состоящий из катушки с индуктивностью L, конденсатора емкости С и резистора с сопротивлением R. Для возбуждения вынужденных колебаний последовательно с этими элементами в цепь включается источник переменной ЭДС (рис. 1).

 

Рис. 1

            Пусть ЭДС источника изменяется по гармоническому закону

.                                                                                                                (1)

            Для замкнутого контура в каждый момент времени справедливо второе правило Кирхгофа, согласно которому, с учетом выбранных направлений тока и полярности ЭДС, имеем

          ,                                                                                                             (2)

где UR = JR = R  – напряжение на сопротивлении R; UC =  – напряжение на конденсаторе; e – ЭДС, создающая переменный ток в контуре; eS = – L  – ЭДС самоиндукции в катушке.

            Подставляя соответствующие выражения, после преобразований получим:

.                                                                  (3)

            Поскольку при выполнении лабораторной работы измеряемой величиной будет напряжение на конденсаторе, то перейдем в полученном уравнении к переменной UC:

;

.

            Кроме того, введем обозначения:

.

В результате уравнение (3) приобретает вид

,                                                    (4)

где wо – циклическая частота собственных незатухающих колебаний в контуре; d – коэффициент затухания.

            Общее решение уравнения (4) складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения U1 и любого частного решения U2 неоднородного уравнения (4):

.

Известно [1], что если d < wо , U1 равно

,                                                                              (5)

где wсоб = — частота собственных затухающих колебаний осциллятора.

            Амплитуда этих собственных колебаний  зависит от начальных условий и от времени. Со временем она становится пренебрежимо малой, и в контуре остаются только вынужденные колебания U2 , амплитуда которых от времени не зависит. В этом случае вынужденные колебания называют установившимися. Для них UС = U2.

            Частное решение уравнения (4) проще всего искать в комплексной форме, заменив в его правой части cos (w t) на eiwt =

= cos (w t) + i sin (w t). Найдя решение такого уровня в виде комплексной функции , нужно взять действительную часть, т.е. Re, которая и будет искомым решением уравнения (4).

            Будем искать частное решение уравнения

                                                                           (6)

в виде

.                                                                                                                                  (7)

            Подставляя предполагаемое решение (7) в (6), получим

.

Сокращая на  и выражая А, найдем:

.

Представим знаменатель этого выражения в показательном виде:

.

Модуль этого выражения равен

                                                                                              (8)

а фаза определяется формулой

.                                                                                                                         (9)

Подставляя (8) и (9) в (7), найдем:

и, следовательно,

.                                                                              (10)

            В результате для установившихся вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе получаем:

,              (11)

где – дает сдвиг фаз между колебаниями напряжения на конденсаторе и колебанием ЭДС источника.

            Из (11) видно, что амплитуда вынужденных установившихся колебаний  равна

.                            (12)

Величина  при  (резонансная частота) достигает максимума, который равен

,                                                                           (13)

причем последняя формула верна при

            Необходимо отметить, что резонансная частота колебаний напряжения на катушке  больше, чем , и, следовательно, резонанс напряжения на LC цепочке наблюдается при промежуточной частоте

.

            2. Уравнение (12) определяет форму амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) колебаний на конденсаторе, которую называют резонансной кривой (рис. 2). Ширина и высота этой кривой зависят от коэффициента  Выясним физический смысл этого коэффициента.

Рассмотрим собственные колебания в контуре, которые описываются уравнением (5). Энергия, запасенная в контуре в начальный момент времени , пропорциональна квадрату амплитуды колебаний:

W(0) ~ B2.

Через один период (t = Т) эта энергия будет пропорциональна

W(T) ~ В2 е–2dТ.

            Изменение энергии колебаний за период Т, отнесенное к начальной энергии, равно

.

            Относительное изменение энергии за время, в течение которого фаза колебаний изменяется на 1 радиан, тогда получается равным

где последнее выражение верно при d << wo (малое затухание).

            Обратная величина

                                                                                                                                            (14)

называется добротностью колебательного контура.

            Приведем другие выражения для добротности [1, 2]

                                                                  (15)

где l – логарифмический декремент затухания; Rк – активное сопротивление контура.

            Из (12), (13), (14) можно получить при wрез » wо

.                                                                         (16)

            Ширина резонансной кривой зависит, таким образом, от добротности контура. При Q >> 1 резонансный максимум оказывается узким, так что в области резонанса

.

            В этом случае формула (16) принимает более простой вид:

.                                                                                   (17)

            Обычно ширина резонансной кривой 2Dw измеряется на уровне UmC =Uрез /, что соответствует уменьшению мощности колебаний по сравнению с мощностью при резонансе в 2 раза. Подставляя в (17)  найдем, что ширина резонансной кривой 2Dw на этом уровне и добротность Q связаны соотношением

                                                                                                   (18)

где nо = nс – резонансная частота. Из (18) видно, что добротность обратна относительной ширине резонансной кривой.

            Из формул (13) и (14) следует, что

.                                                                                                (19)

            Следовательно, добротность равна отношению резонансного напряжения Uрез на конденсаторе к амплитуде напряжения источника ЭДС em:

                                                                                                                  (20)

т.е. характеризует не только ширину, но и высоту резонансного пика.

3. Вернемся к рассмотрению цепи, изображенной на рис. 1. Пусть ЭДС источника изменяется по закону

.                                                                                                 (21)

            Пользуясь вторым правилом Кирхгофа (2) и считая искомой величиной силу тока, получим:

.                                                           (22)

            Используя комплексное представление правой части (см. (6), (7)) и считая искомую величину комплексным числом, вместо (22) запишем:

                                                                              (23)

где .

           

Будем искать частное решение уравнения (23) в виде:

.                                                                                                                    (24)

            Подставляя (24) в (23) и сокращая на еiwt, получим:

.                                                                           (25)

            Величина, стоящая в квадратных скобках, носит название импеданса контура и обозначается :

.                                                                                              (26)

            Выражение для  определяется только свойствами пассивных элементов, входящих в состав контура. Подставляя (26) в (25), получим:

.                                                                                                                            (27)

            Это выражение является законом Ома для переменного тока. Роль сопротивления здесь играет .

            Выражение для величины  содержит действительную часть, называемую активным сопротивлением, и мнимую часть, называемую реактивным сопротивлением.

            Из формулы (26) видно, что импеданс идеального резистора равен R, идеальной катушки iwL, идеального конденсатора .

            Представим импеданс  в показательной форме:

,                                                                                                                     (28)

где .

            Из (24), (27) и (28) получим, переходя к действительному выражению для силы тока:

    (29)

            Сравнивая (29) и (21) видим, что ток отстает по фазе от ЭДС генератора на величину yI.

            Рассмотрим важные частные случаи.

а) В цепь включено только сопротивление R. Тогда из (28) следует, что . Колебания тока в активном сопротивлении совпадают по фазе с колебаниями напряжения на нем.

б) В цепь включена только емкость С (конденсатор без утечки), из (28) . Ток по фазе опережает напряжение на  радиан.

в) В цепь включена только самоиндукция L (катушка, активным сопротивлением которой RL можно пренебречь). Из выражения (28) следует, что . Ток цепи отстает по фазе от напряжения на  радиан. Если же RL ¹ 0, то .

            Если теперь рассмотреть цепочку, состоящую из резистора, конденсатора и катушки, в каждом из которых сила тока J за счет последовательного соединения колеблется в одинаковой фазе, то сдвинутыми по фазе относительно друг друга окажутся напряжения на каждом из этих элементов цепи. При этом напряжения на идеальной емкости и идеальной индуктивности всегда окажутся сдвинутыми относительно друг друга по фазе на p радиан (колебания UC и UL – противофазные).

            Зависимость разности фаз от частоты вынужденных колебаний называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ). На рис. 3 представлены ФЧХ для емкости Djс, индуктивности DjL и LC-цепочки DjL по отношению к колебаниям источника ЭДС.

Рис. 3

           

Из формулы (29), кроме того, следует, что при любых значениях активного сопротивления R максимум амплитуды колебаний силы тока достигается при условии  .

            Следовательно, резонансная частота для силы тока равна собственной частоте незатухающих колебаний контура: .

 

Методика измерений

 

            На рис. 4 показана схема измерений с применением электронного осциллографа ЭО. Предполагается, что осциллограф имеет два канала, один из которых может включаться как на вертикальное, так и на горизонтальное отклонение луча (осциллограф С1-83).

Рис. 4

            Звуковой генератор ЗГ подключен к последовательно соединенным переменному резистору R, катушке индуктивности L и конденсатору С. Канал I осциллографа подключен к точкам 0 – 3, т.е. измеряет переменное напряжение на выходе ЗГ. Канал П может быть подключен либо к точкам  0 – 1, чтобы измерять напряжение на конденсаторе, либо к точкам 0 – 2, чтобы измерять напряжение на LC-цепочке. Сигналы, поступающие на оба канала, могут наблюдаться одновременно. Включение генератора развертки осциллографа позволяет проследить изменение напряжений со временем.

            Амплитуда колебаний напряжения, поступающего на каналы ЭО, определяется по делениям шкалы, закрепленной на экране, с учетом цены деления этой шкалы и множителя, указанных около ручек управления ЭО.

            Разность фаз между колебаниями напряжения, поступающего на каналы ЭО, может быть определена двумя способами. Во-первых, путем определения сдвига одного сигнала по отношению к другому в горизонтальном направлении. Во-вторых, путем сложения сигналов как взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с одинаковой частотой (оба способа описаны в инструкции по эксплуатации осциллографа и в лаб. раб. № 21).

 

Задание

 

            В таблице указаны номера заданий и параметры исследуемого контура для каждой учебной бригады.

 Соберите схему рис. 4. При этом рекомендуется выбрать номер конденсатора в соответствии с номером учебной бригады, в которую Вы входите (см. таблицу). Следить, чтобы клеммы «земля» каналов ЭО и ЗГ были подключены к общей точке. Канал П подключите к выбранному конденсатору (точки 0 – 1). Кнопки управления ЭО «®®» (слева от экрана) и «I» (справа от экрана) должны быть нажаты. Генератор развертки включен.

 Установите сопротивление переменного резистора на ноль . Ручку напряжения ЗГ установите в среднее положение.

 Получите на экране одновременно два гармонических сигнала. Меняя частоту ЗГ определите резонансную частоту nс, при которой амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе UmC достигает наибольшего значения. Если при подходе к резонансу будет наблюдаться перегрузка (сигнал выйдет за пределы экрана осциллографа), то уменьшите амплитуду колебаний ЭДС.

 Для известных значений емкости конденсатора С и индуктивности катушки L рассчитайте резонансную частоту без учета активного сопротивления катушки. Сравните с частотой, найденной экспериментально. Объясните возможное различие.

 Определите, сравнивая сигналы, разность фаз между колебаниями напряжения на генераторе и на конденсаторе при резонансе, сравните с теоретической. Вычислите добротность контура по формуле (20).

 Выполните измерения по определению зависимости амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе UmC от частоты n при R = 0. По полученным данным постройте амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) UmC = ¦(n).

 Проведите аналогичные измерения для сопротивления, значение которого для каждой бригады указано в таблице. Проведите анализ полученных результатов.

 Выполните измерения по определению зависимости разности фаз колебаний ЭДС и напряжения на конденсаторе UmC от частоты n при R = 0. По полученным данным постройте фазочастотную характеристику (ФЧХ) DjС=¦(n).

 Проведите аналогичные измерения для сопротивления, значение которого для каждой бригады указано в таблице. Проведите анализ полученных результатов.

 Измените точку подключения канала II, подсоединив его к концам LC-цепочки (точки 0-2).

 Выполните измерения по определению зависимости амплитуды колебаний напряжения на LC цепочке Um от частоты.

 По полученным в п.11 данным постройте АЧХ. Проведите анализ полученных результатов. Объясните резкое различие этих графиков от графиков, полученных ранее для RC-цепочки.

 Выполните измерения по определению зависимости разности фаз Dji на LC-цепочке от частоты.

 По полученным в п.13 данным постройте ФЧХ. Проведите анализ полученных результатов. Объясните резкое различие этих графиков от графиков, полученных ранее для RC-цепочки.

 

Таблица рекомендуемых для каждой учебной бригады параметров

колебательного контура и пунктов задания

Номер

бригады

Номер

конденсатора

Сопротивление

переменного резистора

Пункты задания

для выполнения

1

C1

100 Ом

1 - 7

2

C2

200 Ом

1 - 5,8,9

3

C3

300 Ом

1 - 5,10,11,12

4

C1

100 Ом

1 - 5,10,13,14

5

C2

200 Ом

1 - 7

6

C3

300 Ом

1 - 5,8,9

7

C1

100 Ом

1 - 5,10,11,12

8

C2

200 Ом

1 - 5,10,13,14

9

C3

300 Ом

1 - 7

10

C1

100 Ом

1 - 5,8,9

11

C2

200 Ом

1 - 5,10,11,12

12

C3

300 Ом

1 - 5,10,13,14

 

Контрольные вопросы

 

            1.  Какие колебания осцилляторов называются вынужденными?

            2. Получите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в последовательном колебательном контуре для заряда, для напряжения, для силы тока.

            3. Получите решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний. Объясните, что такое установившиеся вынужденные колебания.

            4. Что такое резонанс? Чему равна резонансная частота колебаний напряжения на конденсаторе и силы тока в контуре?

            5. Как зависит амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе от частоты установившихся вынужденных колебаний?

            6. Как зависит разность фаз между колебаниями напряжения на конденсаторе и генераторе от частоты?

            7. Чему равна разность фаз колебаний силы тока и напряжений на элементах последовательного колебательного контура?

            8. Почему АЧХ для LC-цепочки резко отличается от АЧХ для конденсатора?

            9. Что такое добротность контура? Как связана добротность с высотой и шириной резонансной кривой.

            10. Запишите закон Ома для переменного тока. Что такое импеданс?

 

Список литературы

 

            1. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1982. – Т. 1, 2.

            2. Калашников С.Г. Электричество. – М.: Наука, 1977.