Название: Квантовая оптика - учебное пособие (Гринберг Я.С., Ноппе М.Г., Спутай С.В.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1469


Законы излучения

Интенсивность излучения (или плотность потока световой энергии) I(n, t) представляет собой энергию, переносимую светом за единицу времени через единичную площадь, ориентированную нормально к направлению излучения n. Таким образом, энергия dW, переносимая за время dt через площадку dSn, ориентированную нормально к направлению излучения есть: dW = I(n,t)dtdSn. Размерность интенсивности – Вт/м2.

Интенсивность облучения элемента поверхности (или освещенность) Ee определяется как: Ee = I(n, t)cosq, где q – угол между нормалью к облучаемой поверхности и направлением падающего излучения.

Энергетической светимостью элемента излучающей поверхности называется энергия, излучаемая в единицу времени единицей площади этой поверхности по всем направлениям (в пределах телесного угла 2p). Размерность энергетической светимости – Вт/м2. Таким образом, мощность, излучаемая площадкой dSR излучающей поверхности, есть dP = RdSR. Энергетическая светимость зависит от температуры тела: R º R(T). Если энергетическая светимость одинакова по всей поверхности излучающего тела, то полная мощность излучения P = R(T)SR. Эта величина представляет собой количество энергии, излучаемое в единицу времени с единицы поверхности тела, находящегося при термодинамической температуре Т.

Количество энергии, излучаемое равномерно нагретым телом в элемент телесного угла dW есть: dWW = R(T)SRdW/4p. Если размеры источника излучения много меньше расстояния r до облучаемой поверхности (точечный источник), то количество энергии, падающее в единицу времени на облучаемую поверхность, есть:

.

Испускательной способностью элемента излучающей поверхности называется отношение доли энергетической светимости dRw, приходящейся на малый частотный интервал dw, к величине самого этого интервала: r(w, T) = dRw/dw. По определению

.

Таким образом, испускательная способность представляет собой спектральную плотность энергетической светимости. Размерность испускательной способности есть джоуль/метр в квадрате (Дж/м2).

Поглощательной способностью элемента поверхности тела а(w, T) называется отношение энергии, поглощенной этим элементом в малом частотном интервале dw, к падающей на этот элемент поверхности энергии в этом же частотном интервале. По определению величина а(w, T) является безразмерной и не может быть больше единицы.

Абсолютно черным телом называется такое тело, которое поглощает все падающее на него излучение и ничего не отражает. С другой стороны, абсолютно черное тело само является источником излучения. Следует подчеркнуть, что термин абсолютно черное тело не имеет ничего общего с его цветом, который воспринимается глазом.

Закон Стефана-Больцмана: энергетическая светимость абсолютно черного тела зависит от термодинамической температуры тела следующим образом: R(T) = sT4, где s – постоянная Стефана-Больцмана [s = 5,67´10-8Вт/(м2К4)].

Зависимость испускательной способности абсолютно черного тела от длины волны или от частоты дается формулой Планка:

 

.

Величины r(l, T)dl, r(n, T)dn – представляют собой количество энергии, испускаемое в единицу времени с единицы поверхности абсолютно черного тела соответственно, в интервале длин волн от l до l + dl, и в частотном интервале от n до n + dn; с – скорость света в вакууме; k – постоянная Больцмана; h – постоянная Планка. Если интервалы dl и dn относятся к одному участку спектра, то r(l, T)dl = r(n, T)dn.

Законы Вина. Эти законы описывают некоторые свойства излучательных способностей r(l, T), r(n, T) как функций соответственно длины волны l, частоты n и температуры. Обозначим через lmах длину волны, при которой излучательная способность r(l, T) является максимальной. Тогда lmах обратно пропорциональна термодинамической температуре абсолютно черного тела:

 = b1/T, где b1 = 2,90´10-3 м К. Аналогичным образом, если обозначить через nmах частоту, при которой излучательная способность r(n, T) является максимальной, то nmах будет пропорциональна термодинамической температуре абсолютно черного тела: nmах = b2T, где b2 = 5,87´1010 Гц/К.

Максимальное значение излучательной способности r(l, T) пропорционально пятой степени температуры: [r(l, T)]maxº r(lmах, T) = = с1T5, где с1 = 1.30´10-5 Вт/(м3 К5).

Максимальное значение излучательной способности r(n, T) пропорционально третьей степени температуры: [r(n, T)]max º º r(nmах, T) = с2T3, где с2 = 5,8´10-19 Вт/(м2ГцК3).

Равновесная плотность энергии излучения u(n, T) связана с излучательной способностью абсолютно черного тела следующим образом: r(n, T) = u(n, T)с/4, где с – скорость света.

Излучение реальных тел таково, что на любой длине волны они излучают меньше энергии, чем находящееся при той же температуре абсолютно черное тело. Излучение реальных тел подчиняется закону Кирхгофа: rR(l, T) = a(l, T)r(l, T), где rR(l, T) – испускательная способность реального тела, a(l, T) – его поглощательная способность или коэффициент поглощения. Коэффициент поглощения a(l, Т) представляет собой отношение энергии, поглощенной телом, к энергии, падающей на тело. Поэтому всегда a(l, Т) < 1. Для некоторых тел величина a(l, T) слабо зависит от длины волны: a(l, T) º a(Т). Такие тела называются серыми, а величина а(Т) иногда называется коэффициентом серости. Для многих серых тел величина а растет с увеличением температуры. Очевидно, что энергетическая светимость серого тела есть RR(T) = a(T)sT4.

Пример

Электрический ток, текущий через спираль электролампочки, равен I = 160 мА. Напряжение на ее зажимах равно V = 1,52 В. Поверхностная площадь вольфрамовой спирали S = 1 мм2. Считая, что вся подводимая мощность идет на излучение и лампочка излучает как серое тело с коэффициентом серости а = 0,25,

определить: a) температуру спирали; б) время, через которое

после выключения тока температура спирали уменьшится вдвое. Масса вольфрамовой нити m = 2,5 г, теплоемкость вольфрама

с = 0,134 Дж/г °С.

Решение

а) Температура спирали Т0 будет неизменной только в том случае, если вся подводимая к спирали мощность P = IV отводится посредством излучения. Поэтому температура спирали определяется из условия равенства подводимой и излучаемой мощности:

                .    (1)

Из (1) следует

                .       (2)

Подставляя в (2) данные из условия задачи, получаем Т0 = 2035 К.

б) При охлаждении спирали на величину dT ее внутренняя энергия уменьшается на величину dU:

                .       (3)

Это уменьшение внутренней энергии происходит за счет энергии dE, которая излучается во внешнее пространство за время dt:

                .                (4)

Поэтому

                dE = -dU.              (5)

Знак «-» в правой части (5) появляется потому, что по определению dE величина положительная, а dU – отрицательная.

Подставляя в (5) выражения (3) и (4), получаем дифференциальное уравнение для температуры Т:

                .                 (6)

Решая это дифференциальное уравнение, получаем:

                .          (7)

Это уравнение определяет зависимость текущей температуры спирали от времени охлаждения. Подставляя в (7) Т = Т0/2, получаем:

                .      (8)

Подставляя в (8) данные из условия задачи и Т0 из решения п. «а» будем иметь t = 110 мин.