Название: Квантовая оптика. Квантовая механика - методические указания (Э.Б. Селиванова)

Жанр: Технические

Просмотров: 1211


17.1. основные понятия и соотношения

 

Гипотеза де Бройля. Луи де Бройль выдвинул предложение, что корпускулярно-волновая двойственность свойств характерна не только для света, но и для частиц вещества.

Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными имеют также и волновые свойства, Л. де Бройль перенес на случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, какие справедливы в случае света.

Фотон обладает энергией

,

где ; h – постоянная Планка, w – частота,

и импульсом

,

где  – длина волны.

По идее де Бройля, движение электрона или какой-либо

другой частицы связано с волновым процессом, длина волны

которого

,                (17.1)

а частота

                    (17.2)

Формула (17.1) применима к частицам любой массы. Однако для макротел получаются слишком короткие длины волн, которые не могут быть обнаружены ни в каком дифракционном опыте. Потому можно считать, что волновые свойства у макроскопических тел практически отсутствуют.

Рассмотрим движение свободной частицы массой m со скоростью V. Связь между корпускулярными и волновыми свойствами такой частицы приведены в табл. 17.1.

Из соотношений для фазовой скорости  

(см. табл. 17.1) видно, что  зависит от длины волны: ~. Отсюда следует, что волны де Бройля должны испытывать большую дисперсию.

Вопрос о природе волн можно сформулировать как вопрос о физическом смысле амплитуды этих волн. Вместо амплитуды А удобнее выбрать интенсивность волны, пропорциональную квадрату модуля амплитуды |A|2.

Таблица 17.1

Корпускулярно-волновые свойства света и свободной частицы

Свет

Частица

поток корпускул (фотонов)

Энергия фотона

Импульс фотона

Длина волны

Явления, в которых свет обнаруживает корпускулярные свойства:

Тепловое излучение

Фотоэффект (внешний)

Эффект Комптона

Световое давление

 

Корпускулярные свойства

Энергия свободной частицы

Импульс

Скорость

электромагнитная поперечная

волна

где  и  – напряженности электрического и магнитного полей

с – скорость света в вакууме

;

Волновые свойства

 

Движущаяся частица обладает lб

 

Длина волны де Бройля

Частота волны де Бройля

Групповая скорость  волн де Бройля равна скорости частицы

Фазовая скорость волн де Бройля

 

Окончание табл. 17.1

Свет

Частица

V – скорость света в среде

Длина волны

Явления, в которых обнаруживаются волновые свойства света:

Интерференция

Дифракция

Поляризация

Дисперсия

I – интенсивность света

I~ A2 (); I~ N фотонов

,

где  – волновая функция

                   I~ | A |2

 

I ~ N электронов

 

Из опытов по дифракции электронов следует, что в этих экспериментах обнаруживается неодинаковое распределение пучков, отраженных или рассеянных по разным направлениям.

С волновой точки наличие максимумов числа электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля.

Другими словами, интенсивность волн в данной точке пространства определяет плотность вероятности попадания электронов в эту точку за 1 с. Это послужило основанием для своеобразного статистического, вероятностного истолкования волн де Бройля.

Квадрат модуля амплитуды волн де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке.

С учетом этого иногда волны де Бройля называют волнами вероятности.

 

Таблица 17.2

Длина волны де Бройля

Для нерелятивистской частицы

, где p – импульс нерелятивистской частицы

, где E – кинетическая энергия нерелятивистской частицы; m – масса частицы

, где m – масса частицы;  – постоянная Больцмана;

Т – абсолютная температура

, где q – заряд частицы; U – разность потенциалов

Для релятивистской частицы

,

где m0 – масса покоя частицы; EK – кинетическая энергия реля-

тивистской частицы  p – импульс

 

Соотношения неопределенностей Гейнзберга. В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс.

Корпускулярно-волновая двойственность свойств микрочастиц (электронов, протонов и т.д.) и вероятностный смысл волн де Бройля приводят к тому, что объект микромира нельзя одновременно со сколь угодно большой точностью характеризовать координатами и импульсом.

Так, если электрон движется вдоль оси Х, то неопределенность координаты частицы и неопределенность импульса удовлетворяют соотношению

.             (17.3)

Из (17.3) следует, что чем меньше неопределенность одной из переменных, тем больше неопределенность другой. Возможно и такое состояние, в котором одна из переменных имеет точное значение, зато другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной (ее неопределенность равна ¥). Соотношение, аналогичное (17.3), имеет место для y и , z и ,

а также для ряда других пар величин, называемых каноническими сопряженными.

Соотношением неопределенности связано время пребывания частицы в некотором энергетическом состоянии  с неопределенностью энергии этого состояния

.                  (17.4)

Следовательно, система, имеющая среднее время жизни , не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии ~ возрастает с уменьшением среднего времени жизни.

Из выражения (17.4) следует, что частота излученного фотона должна иметь неопределенность , т.е. линии спектра должны характеризоваться частотой . Измеряя ширину спектральной линии, можно оценить «время жизни» атома в возбужденном состоянии.

Формулы (17.3) и (17.4) называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга.

Они указывают, в какой мере можно пользоваться понятиями классической физики применительно к микрочастицам. В частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Подставив в (17.3) вместо  его значение , получим

.                (17.5)

Из (17.5) видно, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости, а значит, с тем большей точностью применимо понятие траектории.