Название: Функционально-стоимостный анализ. Инструменты и модели - учебник(Мезенцев Ю.А., Преображенская Т.В.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1088


Контрольная работа № 1 элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры

Для успешного выполнения контрольной работы № 1 необходимо внимательно изучить следующие теоретические вопросы:

Векторная алгебра

Понятие вектора. Координаты вектора.

Модуль (длина) вектора.

Равные векторы. Противоположные, коллинеарные, компланарные векторы.

Линейные операции с векторами (сложение, вычитание, умножение на скаляр). Их свойства.

Базис. Разложение вектора по базису.

Скалярное произведение векторов. Определение, выражение через координаты перемножаемых векторов. Условие ортогональности двух векторов.

Векторное произведение векторов. Определение, выражение через координаты перемножаемых векторов, геометрический смысл. Условие коллинеарности двух векторов.

Смешанное произведение векторов. Определение, выражение через координаты перемножаемых векторов, геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов.

Задачи, решаемые с помощью скалярного, векторного, смешанного произведений.

Аналитическая геометрия

Понятие уравнения кривой.

Прямая на плоскости: общее уравнение прямой; уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через одну точку в данном направлении; через две данные точки; каноническое уравнение; параметрические уравнения; уравнение прямой в отрезках.

Условие параллельности, перпендикулярности двух прямых, угол между двумя прямыми.

Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Их канонические уравнения, чертежи.

Плоскость. Общее уравнение плоскости; уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору (нормальный вектор); уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнения прямой в пространстве: общие; канонические; параметрические; уравнения прямой, проходящей через две точки. Направляющий вектор прямой.

Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости.

Матрицы и действия с ними

Определение матрицы. Квадратные, треугольные, диагональные, единичные, нулевые, ступенчатые матрицы.

Действия над матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц.

Определитель квадратной матрицы. Его вычисление. Свойства.

Обратная матрица. Ее нахождение.

Ранг матрицы, элементарные преобразования матрицы, приведение матрицы к ступенчатому виду.

Система линейных уравнений. Решение их методом Гаусса, с помощью обратной матрицы, методом Крамера.

 

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить определитель матрицы A:

det A = .

Ñ Это определитель третьего порядка (n = 3), для его вычисления применяем правило “треугольника”:

  #

Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды: А1 (–5; 3; –2), , А3 (0; –2; –1), А4 (2; 3; –1).

1. Найти длину ребра А1А2.

Ñ Чтобы узнать длину ребра А1А2, необходимо вычислить модуль вектора . Найдем координаты , вычитая из координат конца вектора координаты начала:

=(–2–(–5); 3–3; 2–(–2))=(3; 0; 4).

Модуль вектора вычисляется по формуле:

,

где x, y, z – координаты вектора. Следовательно,

.         #

2. Найти угол между ребрами  и .

Ñ Косинус угла между векторами (рис. 1) находим с помощью скалярного произведения по формуле:

.

Здесь в числителе стоит скалярное произведение векторов  и , которое вычисляется по формуле:

.

Найдем  = (7; 0; 1), . Тогда

.

Отсюда

.  #

 

3. Найти площадь грани .

Ñ Площадь параллелограмма (рис. 2), построенного на векторах , , вычисляется с помощью векторного произведения по формуле:

,

 

где ,. Площадь грани  равна половине площади параллелограмма . Следовательно,

,

 

 = (3; 0; 4),  = (5; –5; 3),

 

,

 

,

 

.   #

 

4. Найти объем пирамиды .

Ñ Объем параллелепипеда (рис. 3), построенного на векторах , , , равен модулю смешанного произведения векторов , , , поэтому его можно вычислить по следующей формуле:

 

.

 

Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах, поэтому

 

.

 

Имеем , , . Тогда

.   #

 

5. Найти уравнение прямой А1А2.

Ñ Прямая, проходящая через точку  параллельно направляющему вектору , описывается каноническими уравнениями

.

Прямая А1А2 проходит через точку A1(–5;3;–2), вектор  – направляющий, следовательно,

 – канонические уравнения прямой А1А2. #

6. Найти уравнение плоскости А1А2А3.

Ñ Уравнение плоскости, проходящей через точки , , , не лежащие на одной прямой, имеет вид

.

Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через точки А1 (–5; 3; –2), А2 (–2; 3; 2), А3 (0; –2; –1), примет вид

 

      Þ        ,

 

–15(z+2)+20(y–3)–3(y–3)+20(x+5)=0           Þ        20x+17y–15z+19=0.

Отметим, что вектор  = (20;17;–15) перпендикулярен плоскости А1А2А3.                                                                         #

7. Найти угол между ребром  и гранью А1А2А3.

Ñ Углом j между ребром  и гранью А1А2А3 является угол, образуемый  и его проекцией А4О на плоскость А1А2А3.

Вектор  перпендикулярен плоскости А1А2А3, следовательно, . Поэтому .

 

С помощью скалярного произведения можем найти cos a. Углы j и a – острые в прямоугольном треугольнике, следовательно,

 

 (рис. 4).

 

 Найдем

.

Имеем: , , =(20;17;–15),  Следовательно,

.

Отсюда , следовательно, .  #

8. Найти уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Ñ Высота, опущенная из вершины А4 на грань А1А2А3,.проходит через точку А4 (2; 3; –1) и перпендикулярна грани А1А2А3, следовательно, параллельна нормальному вектору =(20;17;–15), значит,  является направляющим вектором прямой, содержащей высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3. Следовательно, канонические уравнения высоты имеют вид

. #

Пример 3. В прямоугольном треугольнике известны уравнения гипотенузы x – 3y + 7 = 0 и катета x + y – 9 = 0. Найти уравнение второго катета, если известны координаты середины гипотенузы (2;3). Сделать чертеж.

Ñ Найдем координаты точки В пересечения катета BC и гипотенузы AB, для чего решим систему уравнений

.

Зная координаты точки В и середины гипотенузы D, найдем координаты другого конца гипотенузы (точки А) с помощью формул середины отрезка:

.

 

Отсюда , , следовательно, .

Катет АС проходит через точку А (–1;2) и перпендикулярен катету ВС. Из уравнения  катета ВС имеем координаты нормального вектора прямой ВС: , который является направляющим вектором прямой АС. Следовательно, можно записать каноническое уравнение катета АС:

.

Отсюда x – y + 3 = 0 – уравнение катета АС.       #

Пример 4. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А (0;1) и от точки В (0;2) относятся как 2:3.

Ñ Для решения задачи используем формулу расстояния между двумя точками ,:

.

Пусть С (х; y) – точка на искомой линии, тогда получим расстояния , . Так как , имеем

 

 

Это уравнение окружности. Чтобы найти координаты центра и радиус окружности, приведем уравнение окружности к каноническому виду

,

где  – центр окружности, R – ее радиус. Для этого выделим полный квадрат:

 

.

Таким образом, (0; 1/5) – центр окружности, R = 6/5 (рис. 6).   #

 

Пример 5. Дана система уравнений:

.

Доказать ее совместность и решить средствами матричного исчисления.

 Ñ По теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений (СЛУ) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы. Выпишем расширенную матрицу  (А – матрица системы, В – столбец свободных членов) и приведем ее к ступенчатому виду. В качестве ведущего элемента выбираем элемент . С помощью элементарных преобразований матрицы получим эквивалентную матрицу, имеющую нули под этим элементом (в первом столбце):

 .

Аналогично получаем нули под главной диагональю:

~ .

Ранг матрицы – это число ненулевых строк в ступенчатой матрице. Имеем rang A = rang =3, следовательно, система совместна. Так как число неизвестных равно рангу матрицы, то система определена.

Для решения системы имеем равенство

.                                          (1)

Здесь вектор  – матрица-столбец из неизвестных, А – матрица системы, А-1 – обратная ей матрица, В – матрица-столбец из свободных членов. Имеет место формула:

если . Здесь  – определитель матрицы А, Aij – алгебраическое дополнение элемента aij.

Найдем А-1, она существует по теореме об обратной матрице, так как

 

Далее ищем Aij,  по формуле

где Mij – минор элемента aij (определитель)  порядка, который получается вычеркиванием из  i-й строки и j-го столбца. Таким образом,

 

 

  

 

Тогда по формуле (2) имеем

,   .

Следовательно, по формуле (1) получим:

,

Так как , то  – единственное решение системы.                                                                                  #

 

Пример 6. Дана система уравнений:

Решить ее методом Гаусса.

Ñ Выпишем расширенную матрицу системы:

.

Приведем ее к ступенчатому виду. Чтобы , поменяем местами, например, первую и третью строки. Затем в качестве ведущего элемента выбираем элемент . С помощью элементарных преобразований матрицы получим эквивалентную матрицу, имеющую нули под этим элементом (в первом столбце):

~~.

 

Так как имеем две одинаковые строки, то получим

~~.

Так как rang A = rang =2, следовательно, система совместна. Так как число неизвестных больше ранга матрицы, то система не определена. Имеем:  – базисные переменные,  – свободная переменная.

Чтобы найти общее решение системы, нужно базисные переменные выразить через свободные. Для этого надо получить нули над базисными переменными (“обратный ход” алгоритма Гаусса). В частности, получим нуль над единицей второй строки, сложив ее с первой:

~.

Таким образом, получим: . Или в векторной форме:  – общее решение системы.              #

 

Контрольная работа № 2

Введение в математический анализ

Дифференциальное исчисление

 функции одной переменной

Для успешного выполнения контрольной работы № 2 необходимо внимательно изучить следующие теоретические вопросы.

Понятие функции. Область определения, область значений, график функции. Основные характеристики функций: возрастание, убывание, периодичность. Обратная функция. Привести примеры.

Основные элементарные функции. Их свойства, графики. Определение элементарной функции. Привести пример элементарной и неэлементарной функций.

Предел функции в точке и на . Односторонние пределы. Определение и геометрическая иллюстрация.

Бесконечно большая (б.б.) функция. Бесконечно малые (б.м.) функции. Определение, геометрическая иллюстрация. Примеры. Связь б.м. и б.б. функций. Свойства бесконечно малых функций. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.

Основные теоремы о пределах. Единственность предела функции в точке, предел суммы, разности, произведения и частного функций.

Первый и второй замечательные пределы.

Сравнение бесконечно малых функций. Привести примеры.

Эквивалентные бесконечно малые функции и их свойства.

Важнейшие эквивалентности. Использование при вычислении пределов. Привести примеры.

Непрерывность функций  в точке,  на интервале,  на отрезке.

Точки разрыва функции. Их классификация. Привести геометрическую иллюстрацию для всех случаев.

Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Задачи, приводящие к понятию производной: скорость прямолинейного движения, касательная к кривой.

Определение производной, её механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой.

Понятие дифференцируемой функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Привести пример непрерывной, но не дифференцируемой в точке функции.

Производная суммы, произведения и частного функций. Производные основных элементарных функций. Производная обратной функции и сложной функции.

Замечание. Таблицу производных основных элементарных функций следует выучить наизусть!!!

Дифференцирование функций, заданных параметрически. Метод логарифмического дифференцирования.

Производные высших порядков функций, заданных явно, параметрически.

Дифференциал функции (определение, вычисление, геометрический смысл). Применение дифференциала к приближённым вычислениям.

Теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Коши, Лагранжа).

Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания функции.

Экстремум функции. Определение. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных, наклонных, горизонтальных асимптот.

Общая схема исследования функции.

Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей различного вида.

Формулы Тейлора для многочлена и произвольной функции.

 

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить .

Ñ Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим на  , но :

.   #

Пример 2. Вычислить .

Ñ Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости . При наличии иррациональных выражений рекомендуется перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и после этого выполнить упрощение:

       #

 

Пример 3. Вычислить .

Ñ При  числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции. Для раскрытия неопределённости  рекомендуется разделить числитель и знаменатель на старшую степень х, встречающуюся в членах дроби. Разделим числитель и знаменатель на :

             #

 

Пример 4. Вычислить .

Ñ Подстановка предельного значения x приводит к неопределённости вида . Наличие тригонометрических функций говорит о возможности использования первого замечательного предела  и следующей из него эквивалентности ~ x при . Для этого выполним следующие преобразования:

 ,

,

   #

Пример 5. Вычислить .

Ñ При  числитель дроби – бесконечно малая функция, а знаменатель представляет собой произведение бесконечно малой функции на бесконечно большую (ctgx – бесконечно большая функция при ). Наличие тригонометрических функций говорит о возможности использования первого замечательного предела , его следствия  и следующих эквивалентностей :  ~ tgx ~ arctgx ~ x, при . Для этого заменим ctgx = :

Пример 6. Вычислить .

Ñ Основание степени  при . Таким образом, имеет место неопределённость . В этом случае возможно использование второго замечательного предела: . Для этого перепишем основание степени в другом виде:

при  выражение  и, значит,

.

Вернёмся к пределу из условия

(использована теорема о пределе показательно-степенной функции).            #

Пример 7.  Вычислить .

Ñ Основание степени , а показатель степени . Имеет место неопределённость. В этом случае возможно использование второго замечательного предела в форме . Рассмотрим новую переменную . Заменим . Тогда

.

При . Запишем предел из условия в следующем виде:

    #

 

Пример 8. Вычислить .

Ñ При  являются бесконечно большими функциями. Разность двух бесконечно больших функций требует исследования. Преобразуем

Используем эквивалентность  :

.

.

 

Числитель и знаменатель разделили на x.    #

 

Пример 9. Дана функция . Установить, является ли эта функция непрерывной или разрывной в точках  В случае разрыва функции установить характер точки разрыва. Построить схематичный график.

Ñ Данная функция является элементарной, следовательно, она непрерывна во всех точках области определения. Область определения: все действительные числа, кроме х = 2 (условие существования дроби):

.

Таким образом,  является точкой области определения элементарной функции и, значит, точкой непрерывности,  – точка разрыва, так как функция в ней не определена. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы:

,

Так как левосторонний предел функции в точке х = 2 имеет бесконечное значение, то х=2 – точка разрыва II рода.

 

Для уточнения графика вычислим:

Схематичный график изображен на рис. 1.

Пример 10. Найти производные  данных функций:

а)  б)  в)  

г)  д)  е) .

Ñ Для вычисления производных необходимо твёрдо знать правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций. Строгое соблюдение этих правил – залог успешного решения задач. При нахождении производных старайтесь обходиться без лишних записей.

Использованы правила дифференцирования суммы и формула

.

Использованы правило дифференцирования дроби и формула

Использованы формулы

Использованы формулы

.

е)    #

Пример 11. Найти , если

Ñ Функция вида , называется степенно-показательной. Её производную находим методом логарифмического дифференцирования. Сначала находят ln y:

Полученное равенство дифференцируют по х:

,

Чтобы найти , умножают полученное равенство на :

   #

Пример 12. Найти  функции, заданной неявно .

Ñ Если независимая переменная х и функция y связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно y, то y называют неявной функцией х. Для нахождения производной неявной функции дифференцируют по х обе части равенства . При этом учитывается, что .

Уравнением  задана неявно функция y переменной х. Дифференцируем данное равенство:

Разрешим полученное равенство относительно , для этого раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие :

 Þ Þ

 Þ .

Из полученного равенства выражаем :

   #

 

Пример 13. Найти  и  функции, заданной параметрически

Ñ Производная  функции, заданной параметрически, выражается через производные  следующим образом: . При повторном дифференцировании по х получаем формулу . Эти формулы позволяют находить производную  функции, заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости y от х:

,

,

  #

Пример 14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Ñ  – непрерывная на  функция. Следовательно, она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо в критической точке внутри отрезка , либо на границах отрезка в точках .

Найдём критические точки данной функции , принадлежащие интервалу :

.

обращается в 0 при условии

Интервалу  принадлежит . Вычислим значения функции в точках :

;

.

Среди полученных значений наибольшим является , а наименьшим – .

Пример 15. Найти экстремумы функции  и указать промежутки возрастания и убывания.

Ñ Область определения функции – все действительные числа. Для ответа на вопросы об экстремумах и монотонности функции необходимо исследовать знак первой производной. Находим её:

Производная обращается в нуль при х = 0 и х = 2 (критические точки). Эти точки разбивают всю область определения на три интервала: . На рис. 2 отметим знак производной на каждом из полученных интервалов.

 

0

 

 

2

 
+

 

  

Рис. 2

На интервалах , следовательно, на этих интервалах функция убывает. При  , следовательно, на этом интервале функция возрастает. В соответствии с достаточным условием экстремума  – точка минимума,  – точка максимума, .  #

Пример 16. Исследовать функцию  и построить её график.

Ñ Полное исследование функции включает в себя три блока. По результатам исследования строится график.

Область определения функции. Исследование функции на непрерывность. Вертикальные и наклонные асимптоты. Общие свойства функции (чётность, нечётность, периодичность).

Исследование функции с помощью первой производной (монотонность, экстремумы).

Исследование функции с помощью второй производной (выпуклость, вогнутость, точки перегиба).

График функции.

Исследуем в предложенном порядке данную функцию.

Функция элементарная, следовательно, непрерывна в области определения .

Функция не имеет точек разрыва и, значит, не имеет вертикальных асимптот.

Найдём наклонные асимптоты ,

где ,

Наклонной асимптоты при  функция не имеет:

,

Следовательно, y = 0 – асимптота при .

,

.

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Критические точки: производная обращается в нуль при х = 3. Исследование знаков производной и поведения функции оформим в виде таблицы:

х

3

+

<\/a>") //-->