Название: Функционально-стоимостный анализ. Инструменты и модели - учебник(Мезенцев Ю.А., Преображенская Т.В.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1088


Неопределенный и определенный интегралы

 

дифференциальное

исчисление

функций

нескольких переменных

 

Методические указания

к выполнению контрольных работ

для студентов заочного отделения ФЭН

 

Новосибирск

2003

 

 

Составители: Г.Б. Корабельникова, Е.А. Лебедева

 

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент А.А.Шалагинов

 

Работа подготовлена на кафедре инженерной математики

 

Ó  Новосибирский государственный

технический  университет,   2003

 

 

Контрольная работа № 3

Дифференциальное исчисление функций

нескольких переменных

Для успешного выполнения контрольной работы № 3 необходимо внимательно изучить следующие теоретические вопросы:

Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Предел и непрерывность.

Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала.

Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.

 Неявные функции. Дифференцирование неявных функций одной и двух переменных.

Понятие экстремума функции двух переменных. Необходимое и достаточные условия экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

Понятие скалярного поля. Поверхности уровня. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.

 

Примеры решения задач

Пример 1. Дана функция . Показать, что выполняется равенство

.

Ñ Функция  – функция двух независимых переменных х и у. При определении частной производной функции z по независимой переменной х вторая независимая переменная y рассматривается как величина постоянная. Поэтому частные производные находим по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной. Этот принцип сохраняется и при повторном дифференцировании.

Найдём частные производные:

Проверим выполнение равенства из условия задачи:

     #

 

Пример 2. Вычислить приближённое значение выражения .

Ñ Для ответа на поставленный вопрос рассмотрим функцию . При малых приращениях независимых переменных вычисление приращения функции заменяют вычислением её дифференциала:

.

Формула для вычисления приближённого значения функции имеет вид:

Имеем .

Выберем , , тогда ,

,

,

  

Поэтому      #

 

Пример 3. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке, соответствующей

Ñ Если поверхность задана уравнением , разрешённым относительно z (т. е. в явном виде), а точка касания М имеет координаты , то уравнение касательной плоскости записывается так:

.

Если поверхность определена уравнением  (т. е. поверхность задана в неявном виде), а точка касания М имеет координаты , то касательная плоскость определяется уравнением:

В нашем случае уравнение поверхности разрешено относительно z, т. е. поверхность задана в явном виде. Прежде всего найдём аппликату точки касания: . Итак, точка касания имеет координаты M.

Вычислим значения частных производных в точке касания:

,

.

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид:

.   #

Пример 4. Найти экстремум функции

.

Ñ Функция  – функция двух независимых переменных. Найдём стационарные точки функции, т. е. точки, для которых выполняется необходимое условие экстремума:

,

; .

Решаем систему , которая в нашем случае запишется так:

Сокращаем на 6 и, выполняя подстановку , получаем:

; Þ .

Корни этого уравнения . Учитывая подстановку, находим соответствующие значения у:

 .

Получили две стационарные точки (0; 0) и (6; 6). Чтобы выяснить, будут ли найденные точки являться точками экстремума, проверим выполнение достаточного условия экстремума. Для этого вычислим значения вторых частных производных в этих точках:

Для первой точки (0; 0) имеем:

,

.

Составим

; .

Так как , то при  функция экстремума не имеет.

Для второй точки (6; 6) имеем:

.

Так как , то при  функция имеет экстремум.

Характер экстремума определяем по знаку А. Так как А = 72 > 0, то при  функция имеет минимум:

.    #

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в замкнутой области D, заданной системой неравенств:

Ñ Функция z непрерывна в замкнутой области D. Значит, она достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются либо в стационарных точках внутри области, либо на границе этой области.

Для решения построим область D на плоскости:  – парабола ; у = 0 – ось Оx (рис. 1).

 

Найдём стационарные точки (точки, в которых обе частные производные обращаются в нуль):

 

,

 

.

Решаем систему уравнений  и находим, что .

Итак, имеется одна стационарная точка (0; 0), лежащая на границе области D. Значение функции в этой точке .

Переходим к исследованию функции на границе области D. Граница области D включает в себя отрезок АВ и дугу . На отрезке :  и функция  z  принимает вид:

, .

Так как на этом отрезке функция z непрерывна, то она принимает на нем как наибольшее, так и наименьшее значения (см. пример № 14 к контрольной работе № 2):

 ; критическая точка (0; 0).

Значение функции в этой точке вычислено выше.

Значения функции на концах отрезка:

;

На участке дуги параболы :  функция z принимает вид:

,

Находим критические точки:

Соответствующие значения у следующие:

,            .

Находим значения функции в этих точках , . Значения функции на концах отрезка ,  просчитаны выше.

Сравнивая полученные результаты, имеем:  наибольшее значение функции , наименьшее значение функции .   #

Пример 6. Найти производную функции  в точке  в направлении вектора .

Ñ Производная от функции  в точке по направлению вектора  характеризует скорость изменения функции z в точке A по этому направлению. Эта производная вычисляется по формуле:

,

где  – координаты единичного вектора данного направления.

,

.

Найдём единичный вектор  вектора :

.

 

т. е. , . Значит,

.   #

 

Пример 7. Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля  в точке .

Ñ Наибольшую скорость изменения скалярного поля характеризует градиент поля. Скалярное поле изменяется с наибольшей скоростью в данной точке по направлению градиента:

.

Вычислим координаты градиента:

Таким образом, .

Величина наибольшей скорости изменения скалярного поля в точке A есть модуль градиента, вычисленный в этой точке:

.   #

Контрольная работа № 4

Интегральное исчисление функций

одной переменной

Для успешного выполнения контрольной работы № 4 необходимо внимательно изучить следующие теоретические вопросы:

4.1. Неопределенный интеграл

Основная задача интегрирования.

Понятие первообразной функции.

Понятие неопределенного интеграла. Его свойства.

Таблица интегралов.

Методы интегрирования: а) непосредственное (табличное) интегрирование; б) интегрирование по частям; в) интегрирование заменой переменной.

Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Интегрирование простейших дробей 1-го, 2-го, 3-го типов.

Интегрирование тригонометрических функций:

                        а)

                        б)

                        в)  

                        г)  

                        д)  

                        е)   

Интегрирование иррациональных функций:

        а)  

        б)   

Неберущиеся интегралы.

4.2. Определенный интеграл

Задача о площади криволинейной трапеции.

Определение определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла.

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница.

Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле.

Несобственные интегралы I и II рода. Их определение, сходимость и расходимость.

Вычисление площади плоской фигуры, длины дуги кривой, объема тела вращения:

            а) в декартовой системе координат;

            б) в полярной системе координат.

 

Таблица основных неопределенных интегралов

.

 

Отыскание неопределенного интеграла с помощью приведенной таблицы и тождественных преобразований подынтегрального выражения называется непосредственным интегрированием. Следует иметь в виду, что в таблице u – функция от x, т. е. u=u(x), тогда .

 

Примеры решения задач

Пример 1. Найти интеграл .

Ñ Удобно представить . Тогда

.

Здесь . По формуле 1 таблицы имеем:

.   #

 

Пример 2. Найти интеграл .

 

Ñ . Здесь , , использовалась формула 5. #

 

Пример 3. Найти интеграл .

Ñ . Здесь , использовалась формула 2.   #

 

Пример 4. Найти интеграл .

Ñ Чтобы найти этот интеграл, применим формулу интегрирования по частям:

.                                            (4.1)

Обозначим: . Удобно использовать следующую запись:

Тогда . Еще раз применим формулу (4.1):

Следовательно, имеем:

.  #

 

Пример 5. Найти интеграл .

Ñ Для нахождения интеграла применим формулу (4.1):

 

.

        

  .   #

 

Пример 6. Найти интеграл .

Ñ Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Чтобы найти этот интеграл, подынтегральную дробь нужно представить в виде суммы элементарных дробей. Это представление зависит от разложения знаменателя на множители. Корни знаменателя  действительные  простые,  а  именно:    x1 = –1,  ,  x3 = –3. Тогда

Отсюда . Полагая последовательно x = –1, x = –2, x = –3, получим:

.

. #

Пример 7. Найти интеграл .

Ñ Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Корни знаменателя: x1 = 0 – простой действительный,  – действительный, кратности 2. Следовательно, разложение этой дроби на элементарные выглядит так:

.               (4.2)

Положим x = 0 и x = –1, получим два уравнения:

Приравнивая коэффициенты при x2 в уравнении (4.2) слева и справа, получим и третье уравнение:

.

Итак, имеем систему уравнений относительно A,B,C:

    ,

.   #

Пример 8. Найти интеграл .

Ñ Под интегралом – правильная рациональная дробь. Знаменатель имеет следующие корни: x1 = 1 – простой действительный,  – пара простых комплексных сопряженных. Подынтегральная дробь разлагается на элементарные следующим образом:

 ,

.        (4.3)

Полагая x = 1 и приравнивая коэффициенты при x2 и x0 слева и справа в равенстве (4.3), будем иметь систему уравнений:

 Þ   .

 

 

Пример 9. Найти интеграл .

 

Ñ Под интегралом стоит иррациональная функция вида

.

Здесь a = 2; b = –1; c = 0; d = 1; . Сделаем подстановку , так как 4 – наименьший общий знаменатель дробей   и  , следовательно, , . Отсюда , . Тогда

           

Пример 10. Найти интеграл .

Ñ Сделаем подстановку .

Тогда  .

.   #

Замечание. Если интеграл находится с помощью какой-либо подстановки (заменой переменной), то в конце нужно обязательно вернуться к старой переменной.

Пример 11. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: .

Ñ Дан несобственный интеграл I рода. Он определяется как предел соответствующего определенного интеграла:

.

Так как предел получился конечный, то интеграл сходится.   #

Пример 12. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: .

Ñ Дан несобственный интеграл I рода. Определим его как предел соответствующего определенного интеграла:

Следовательно, интеграл расходится.                                     #

Пример 13. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: .

Ñ Данный несобственный интеграл определяется как сумма двух интегралов:

Если сходятся оба интеграла, то сходится и данный интеграл. Если же хотя бы один из интегралов, стоящих справа, расходится, то расходится и данный интеграл. Сходимость или расходимость данных интегралов рассмотрена в примерах 11 и 12.                    #

 

Пример 14. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: .

Ñ Данный интеграл является несобственным интегралом II рода, так как подынтегральная функция при  является неограниченной и определяется как предел соответствующего определенного интеграла:

Интеграл расходится.                                                          #

 

Пример 15. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: .

Ñ Данный интеграл является несобственным интегралом II рода, так как подынтегральная функция является неограниченной в верхнем пределе, т. е. в точке . По определению

Интеграл сходится.                                                  #

 

Пример 16. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: .

Ñ Подынтегральная функция является неограниченной в точке , которая является внутренней для промежутка интегрирования, поэтому данный интеграл определяется как сумма двух несобственных интегралов II рода, а именно:

Если сходятся оба интеграла, стоящие справа, то сходится и интеграл слева. Если же хотя бы один из интегралов, стоящих справа, расходится, то расходится и данный интеграл. Сходимость или расходимость интегралов, аналогичных данным интегралам, рассмотрена в примерах 14 и 15.                         #

 

Пример 17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми  и .

Ñ Кривая  (локон Аньези) расположена выше оси , так как  для всех х. Кривая симметрична относительно оси Oy: х входит в уравнение в четной степени. Наибольшее значение функция у будет иметь при ;  при  .

 – парабола с вершиной в точке (0, 0) и осью симметрии – осью . Найдем точки пересечения этих кривых, для чего решим систему уравнений:

  Þ .

Сделаем замену переменной , получим уравнение:

 

Делаем чертеж фигуры (рис. 2):

Фигура симметрична относительно Oy, поэтому можно найти площадь S1, а затем ее удвоить. Площадь AOB найдем как разность площадей двух криволинейных трапеций OABC и OBC. Площадь криволинейной трапеции, заключенной между осью Ox, кривой  и прямыми x = a  и y = b, находится по формуле:

.

В нашем случае

Пример 18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

.

Ñ Строим кривую . Заметим, что j может меняться от –p до p. Так как  – функция четная (), то кривая будет симметрична относительно полярной оси. Составим таблицу значений r в зависимости от j, где 0 £ j £ p:

 

0

3

2

0

 

По этой таблице строим кривую (рис.3).

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой  и лучами  и , находится по формуле:

 

.

 

Так как фигура симметрична относительно полярной оси, то площадь ее будем искать следующим образом:

.          #

Пример 19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

.

Ñ Кривая является астроидой (рис.4).

Из чертежа видно, что фигура симметрична относительно осей Ox и Oy, поэтому можно найти сначала 1/4 площади, а именно SAOB, а потом найденную площадь умножить на 4. Заметим, что кривая задана параметрически в декартовой системе координат. Площадь фигуры в этом случае вычисляется по формуле:

.

Перейдем к переменной t:

,

где .

В данной задаче a = 0; b = 2; ; . Найдем a и b.

Если  .

Если .

Тогда площадь фигуры ABCD равна .     #

Пример 20. Вычислить длину дуги кривой  от точки (0; 0) до точки (4; 8), рис. 5.

Ñ Длина дуги кривой, заданной в декартовой системе координат уравнением  , вычисляется по формуле:

.

 

Разрешим уравнение кривой относительно y:

.   #

Пример 21. Вычислить длину дуги развертки окружности    от   до  .

Ñ Строим кривую по точкам, для чего составим таблицу значений t ,x ,y:

 

t

0

x

y

0

*