Название: Функционально-стоимостный анализ. Инструменты и модели - учебник(Мезенцев Ю.А., Преображенская Т.В.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1043


Дифференциальные уравнения

 

кратные

и криволинейные

 интегралы

 

Методические указания

к выполнению контрольных работ

для студентов заочного отделения ФЭН

 

Новосибирск

2003

 

 

Составители: Л. И. Дроздова, Г.Б. Корабельникова

 

Рецензент канд. физ.- мат. наук, доцент А.А.Шалагинов

 

Работа подготовлена на кафедре инженерной математики

 

Ó  Новосибирский государственный

   технический университет,  2003

 

 

Контрольная работа № 5

Дифференциальные уравнения

Для успешного выполнения контрольной работы № 5 необходимо внимательно изучить следующие теоретические вопросы:

Какое уравнение называется дифференциальным?

Чем определяется порядок дифференциального уравнения?

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка.

Понятие общего и частного решения дифференциального уравнения первого порядка, общего и частного интеграла.

Начальные условия. Задача Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения.

Геометрический смысл дифференциального уравнения, общего и частного решения.

Дифференциальное уравнение с разделенными и разделяющимися переменными. Признак. Метод решения.

Однородная функция двух переменных k-го порядка.

Однородные уравнения. Признак. Метод решения.

Линейные уравнения первого порядка. Общий вид. Метод решения.

Дифференциальные уравнения второго порядка. Общие и частные решения. Задача Коши. Теорема существования и единственности.

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Общий вид, методы решения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ). Общий вид. Свойства их решений.

Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Вронскиан. Условия линейной независимости частных решений ЛОДУ.

Структура общего решения ЛОДУ.

Решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ). Структура общего решения.

Метод вариации произвольных постоянных решения ЛНДУ.

Решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Какие правые части относятся к специальным? Метод подбора.

 

Примеры решения задач

1 . Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида

,                               (1)

т.е. при dx – коэффициент, зависящий только от x, а при dy – только от y.

Общее решение его имеет вид:

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения  x dx + y dy = 0.

Ñ Возьмем интеграл от каждого слагаемого, стоящего слева, а справа – нуль заменим на произвольную постоянную С:

,

                #

Заметим, что постоянную С можно записывать как  ln C, 2 C, sin C и т.д., исходя из удобства записи общего решения.

2 . Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

 

              (2)

 

т.е. коэффициенты при dx и dy можно представить как произведение двух сомножителей, один из которых зависит только от x, а второй – только от y. Чтобы привести уравнение (2) к виду (1), разделим все члены уравнения (2) на N1(y)M2(x):

.

Это уравнение является уравнением с разделенными переменными.

 

Пример 2.  Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Ñ Это уравнение является  уравнением с разделяющимися переменными, так как коэффициент при dx представляет собой произведение двух сомножителей: ex зависит только от x, а (1+y2) – только от y. Аналогично, коэффициент при dy тоже является произведением двух сомножителей: (1+ex) зависит только от x, а второй сомножитель – от y.

Чтобы привести его к виду с разделенными переменными, разделим все члены уравнения на (1+ex)(1+y2), в результате получим

.

Решим это уравнение:

.

Здесь произвольную постоянную удобнее взять в виде ln C:

,

.                                        (3)

Это – общий интеграл исходного уравнения. Подставив  вместо y, а 0 вместо x (см. начальные условия), получим:

Подставив С = 1 в (3), получим частный интеграл:

.                                              (4)

Если равенство (4) разрешить относительно у, то получим частное решение дифференциального уравнения:

.   #

3 . Уравнение  называется однородным, если f(x,y) удовлетворяет условию: f (tx, ty) = f (x, y). Однородным будет также уравнение . Решается это уравнение с помощью подстановки .

 

Пример 3. Решить уравнение .

Ñ Данное уравнение является однородным:

 Þ

.

Чтобы решить это уравнение, сделаем подстановку:

,

.

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:

Вернемся к первоначальной переменной:   – общий интеграл исходного уравнения.            #

4 . Уравнение вида  называется линейным. Если , то уравнение  называется линейным однородным (ЛОДУ), если , то уравнение  называется линейным неоднородным (ЛНДУ). Интерес представляют ЛНДУ, так как ЛОДУ являются уравнениями с разделяющимися переменными.

 

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Ñ Это уравнение является ЛНДУ. Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций: . После этой подстановки данное уравнение примет вид:

.

Вынесем за скобки u:

.                                 (5)

Найдем одну из функций v, такую, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: . Это уравнение будет с разделяющимися переменными. Решим его:

.

Подставим найденную функцию в уравнение (5):

.

Так как  y = uv, то  – общее решение данного уравнения.   #

5 . Дифференциальные уравнения второго порядка, которые явно не содержат х или у, т. е. уравнения вида  или , допускают понижение порядка. С помощью соответствующей подстановки их решение сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка.

 

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Ñ Это уравнение имеет вид , т. е. не содержит явно у, следовательно, можно понизить порядок этого уравнения, сделав подстановку:

 

после этого уравнение примет вид:

  или  .      (6)

Это уравнение является однородным, так как в этом уравнении справа стоит функция . С помощью подстановки  от уравнения (6) перейдем к уравнению с разделяющимися переменными: .

.

Учитывая, что , получим

 

 – общее решение данного уравнения.   #

 

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

Ñ Дано дифференциальное уравнение второго порядка, явно не содержащее х, следовательно, оно допускает понижение порядка с помощью подстановки . После подстановки получим уравнение , которое является уравнением с разделяющимися переменными. Решим его:

 

 

 

.

 

Так как , то  – это тоже уравнение с разделяющимися переменными, интегрируем его:

 – общий интеграл исходного уравнения.   #

6 . Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами – это уравнение, которое имеет вид:

,                                            (7)

где p, q – некоторые действительные числа. Решение этого уравнения сводится к решению алгебраического уравнения, называемого характеристическим. Чтобы получить характеристическое уравнение, в уравнении (7) заменяем  на k, а  – на k2:

* – характеристическое уравнение.

При решении этого квадратного уравнения возможны три случая:

а) ,     б) ,     в) .

 

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Дано ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:

Корни характеристического уравнения – действительные различные, поэтому , следовательно, общее решение данного уравнения:

.   #

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Имеем ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид:

.

Корни характеристического уравнения – действительные равные, поэтому , следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:

.   #

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Данное уравнение является ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:

 Þ .

Если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение ЛОДУ имеет вид: , следовательно, общее решение данного уравнения:

.   #

7 . Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью имеет вид:

,

где p, q – некоторые действительные числа,  – правая часть ЛНДУ. Общее решение этого уравнения (у он) состоит из общего решения соответствующего ЛОДУ (у оо) и частного решения ЛНДУ (у чн):

у он = у оо + у чн  .                           (8)

О нахождении у оо см. п. 6. Следующая таблица помогает найти у чн.

№/№

п/п

– правая

часть ЛНДУ

Вид

Замечание

1

Число 0 является корнем характеристического уравнения

кратности r

2

Число α является корнем характеристического уравнения

кратности r

3

Числа ±βi являются корнями характеристического

уравнения кратности r

S=max(m,n)

4

Числа α±βi являются корнями характеристического уравнения кратности r

S=max(m,n)

  – данные многочлены степени n и m соответственно.   – многочлены той же степени только с неопределенными коэффициентами.

 

Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения

,                         (*)

удовлетворяющее начальным условиям:

.                                   (**)

Ñ Дано ЛНДУ с постоянными коэффициентами, правая часть которого является многочленом второй степени  (специального вида, а именно – первого). Найдем сначала уоо – общее решение соответствующего ему ЛОДУ:

.

Составим и решим характеристическое уравнение:

 Þ , следовательно,

.

Будем искать учн в виде многочлена второй степени с неопределенными коэффициентами, умноженного на xr, если нуль является корнем характеристического уравнения кратности r:

.

Но так как k = 0 не является корнем характеристического уравнения, то r = 0, тогда окончательно

.

Поскольку у чн – решение данного уравнения, то при подстановке у чн в это уравнение вместо у получим тождество. Предварительно найдем  и :

; .

Подставим , ,  в уравнение (*). Получим:

,

.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа в последнем уравнении, получим систему уравнений относительно А, В, С:

Решив ее, получим  A=1, B=0, C=0. Таким образом, .

На основании формулы (8) имеем

.                               (9)

Чтобы найти частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (**), найдем :

.

Подставим 0 вместо х, 1 вместо , а 3 вместо  в , . Получим систему уравнений для нахождения С1 и С2:

 Þ С2=0.

Подставив найденные С1 и С2 в (9), получим:

.   #

 

Пример 11. Найти общее решение уравнения .

Ñ Дано ЛНДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью второго вида, следовательно,

у он = у оо + у чн..

Найдем у оо, для чего решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:

.

Составим характеристическое уравнение и решим его:

Þ  Þ  .

Корни характеристического уравнения действительные различные, поэтому

 Þ

Правая часть , равная , представляет собой многочлен нулевой степени , умноженный на eax, где a=–1.

В соответствии с таблицей будем искать yчн в виде многочлена нулевой степени только с неопределенным коэффициентом, т.е. А, умноженного на e-x и на xr, где r = 1, так как –1 является корнем характеристического уравнения кратности 1:

.

Так как yчн – решение данного уравнения, то после подстановки ее в исходное уравнение вместо y получим тождество. Найдем предварительно

Подставим ,  в исходное уравнение:

 Þ

Тогда

.   #

 

Пример 12. Найти общее решение уравнения .

Ñ Имеем ЛНДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью третьего вида. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:

.

Составим характеристическое уравнение и решим его:

Корни характеристического уравнения комплексные, поэтому

.

Запишем правую часть sinx в виде: 0× cosx + 1× sinx, здесь b=1.

При sinx и cosx стоят многочлены нулевой степени  , следовательно,

,

где А и В – многочлены тоже нулевой степени только с неопределенными коэффициентами, а r = 0, так как числа  не являются корнями характеристического уравнения. Итак,

Подставим ,  в данное уравнение:

Получим тождество. Приравнивая коэффициенты при sin x и cos x, получим систему уравнений:

.

Тогда, так как  у он = у оо + у чн , то

.   #

 

Контрольная работа № 6

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

Для успешного выполнения контрольной работы № 6 необходимо внимательно изучить следующие теоретические вопросы:

Определение двойного интеграла. Свойства. Геометрический смысл.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Вычисление площади плоской фигуры и объема тела с помощью двойного интеграла.

Тройной интеграл. Определение. Свойства.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

Криволинейный интеграл второго рода. Свойства.

Вычисление криволинейного интеграла (кривая задана явно  и параметрически ).

Формула Грина.

 

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной кривой

Ñ Введем полярные координаты на плоскости. Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки P, называемой полюсом луча l, называемого полярной осью, и единицы масштаба. Если выбрать декартову систему координат так, чтобы ее начало О совпадало с полюсом полярной системы P, а ось Ox шла по полярной оси l, то между полярными координатами (r, j) и декартовыми координатами (x, y) каждой точки M будет осуществляться следующая связь:

.                            (1)

Чтобы перейти от уравнения заданной кривой  в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно подставить в это уравнение вместо x, y их выражения из формул (1). Тогда полярное уравнение кривой примет вид:

 

  .

Поскольку величина r – величина положительная, то угол j может изменяться только в тех пределах, для которых , т. е. . Построим эту линию по точкам, задавая углу j некоторые значения из этого промежутка. Для вычисления значений r составим таблицу:

j

0

cosj

0

1

0

r

0

2

0

Чтобы построить кривую, проводим из полюса лучи, соответствующие выбранным значениям j, и на каждом луче откладываем отрезки, равные вычисленным значениям полярного радиуса. Полученные точки соединяем плавной кривой.

Область D симметрична относительно полярной оси (рис.2), поэтому достаточно вычислить площадь верхней половины области D и результат удвоить.

Чтобы найти пределы интегрирования по переменной r,  проводим координатные r-линии, т. е. линии, вдоль которых меняется только координата r, j остается постоянной. Уравнение этих линий: j = C. Это – система лучей, выходящих из полюса (см. рис.2). Точкой входа лучей в область D является полюс, где r = 0, следовательно, нижний предел интегрирования по r будет 0. Линией выхода лучей из области D является кривая , значит верхним пределом интегрирования по r будет . Внешний интеграл по j имеет всегда постоянные пределы. В нашем случае – от 0 до .

Для верхней половины области D имеем:   Поэтому

 

.    #

Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами   и плоскостями x = –1,  x = 2 (рис. 3).

Ñ Тело, объем которого находим, ограничено снизу параболическим цилиндром , а сверху – цилиндром . Тело проектируется на область D плоскости xOy, ограниченную прямыми: x = –1, x = 2, y = 1 и y = –1. Два последних уравнения получены в результате исключения z из уравнений цилиндров

 

 :

 

 Þ  Þ .

 

В декартовых координатах объем тела вычисляется по формуле:

.

Чтобы расставить пределы интегрирования по z, проведем координатные z-линии, т. е. прямые, параллельные оси Oz. Поверхность входа этих линий в тело V – цилиндр, уравнение которого: , следовательно,  – нижний предел интегрирования по z. Поверхность выхода z-линий из тела V – цилиндр, уравнение которого:  следовательно,  – верхний предел интегрирования по z.

Для нахождения пределов интегрирования по x и y проектируем тело на плоскость xOy. В проекции получаем прямоугольник, ограниченный прямыми ; ; ; . Пределы интегрирования по  y  найдем,  проводя координатные  y-линии,  т. е. линии, параллельные оси Oy в плоскости xOy.  Линия входа  y-линий в прямоугольник: , а линия выхода из прямоугольника: , следовательно, нижний и верхний пределы интегрирования по y равны соответственно , . Пределы интегрирования по x – постоянные: . Итак,

.

С учетом симметрии тела относительно плоскости xOz  имеем:

.   #

Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом   и конусом  (рис. 4).

Ñ Тело ограничено сверху параболоидом  снизу – конусом . Линия L пересечения данных поверхностей определяется системой уравнений:

 Þ .

Исключим z из этой системы:

 Þ  Þ ,  (посторонний корень, так как ), получим  – уравнение вертикальной цилиндрической поверхности, которая проходит через линию L и проектирует тело на плоскость xOy. Полученное уравнение и будет уравнением проекции линии L на плоскость xOy, т. е. окружности , ограничивающей область D.

Так как область D – круг, целесообразно перейти к цилиндрическим координатам: , ,  z = z. Тогда уравнения окружности, ограничивающей область D, конуса и параболоида соответственно принимают вид:

а) окружность: Þ  Þ  Þ ;

 

б) конус:  Þ  Þ  Þ ;

 

в) параболоид:  Þ .

Объем тела в цилиндрических координатах вычисляется по формуле:

.

Чтобы расставить пределы интегрирования по z, проведем координатные z-линии, т. е. прямые, параллельные оси Oz. Поверхность входа этих линий в тело V – конус, уравнение которого , следовательно,  – нижний предел интегрирования по z. Поверхность выхода z-линий из тела V – параболоид, уравнение которого , следовательно,  – верхний предел интегрирования по z.

Для нахождения пределов интегрирования по r и j проектируем тело V на плоскость xOy, получим круг . Для нахождения пределов интегрирования по r проводим r-линии, т. е. лучи, выходящие из начала координат, в данном случае – из центра окружности. Для начала координат , значит,  – нижний предел интегрирования по r. Линия выхода лучей из круга – окружность, уравнение которой , следовательно,  – верхний предел интегрирования по r. Пределы интегрирования по j – постоянные: . Итак,

.

Учитывая симметрию тела относительно плоскостей xOz и yOz, достаточно вычислить объем лишь той части тела, которая расположена в первом октанте, и полученный результат умножить на 4. Поэтому, построив в плоскости xOy окружность  и взяв ее сектор, расположенны