Название: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - Методические указания (Е.А. Лебедева)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1091


Тема 7.  объёмы тел

 

При изучении материала темы необходимо усвоить:

· понятие объёма тела;

· вывод формул для вычисления объёма призмы (прямой и наклонной), параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса, шара и его частей.

В процессе решения задач проверяются следующие умения:

· вычислять объёмы многогранников и тел вращения по их заданным элементам;

· вычислять элементы многогранников и тел вращения по известному объёму;

· вычислять объёмы тел, полученных при пересечении многогранников и тел вращения.

 

Вопросы теоретического зачёта

 

Вариант 1

 

1. Выведите формулу для вычисления объёма призмы.

2. Запишите формулу объёма усечённого конуса и объясните её геометрический смысл.

3. В шар вписан цилиндр. Докажите, что отношение объёма шара к объёму цилиндра равно .

 

Вариант 2

 

1. Выведите формулу для вычисления объёма пирамиды.

2. Цилиндр, высота которого равна диаметру основания, вписан в шар. Докажите, что отношение объёма цилиндра к объёму шара равно

3. Запишите формулу объёма усечённого конуса и объясните её геометрический смысл.

 

Вариант 3

 

1. Выведите формулу для вычисления объёма шара и шарового сегмента.

2. Докажите, что если в правильную усечённую четырёхугольную пирамиду можно вписать шар, то апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований её боковой грани.

3. Радиус шара равен радиусу основания равностороннего конуса. Какое из тел имеет больший объём? Ответ обоснуйте.

 

Вариант 4

 

1. Выведите формулу для вычисления объёма усечённого конуса.

2. Запишите формулу объёма усечённой пирамиды и объясните её геометрический смысл.

3. Даны равносторонние цилиндр и конус с равными радиусами оснований. Объём какого тела больше? Ответ обоснуйте.

 

Самостоятельная работа 21

 

Вариант 1

 

1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен a. Найдите объём пирамиды.

2. В основание конуса вписан квадрат, сторона которого равна а. Плоскость, проходящая через вершину конуса и одну из сторон этого квадрата, даёт в сечении с поверхностью конуса треугольник, угол при вершине которого равен a. Определите объём конуса.

3. В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник, у которого площадь равна S и угол при вершине равен a. Найдите объём пирамиды, если угол между каждым боковым ребром и высотой пирамиды равен b.

 

Вариант 2

 

1. Вычислите объём правильного тетраэдра, если радиус окружности, описанной около его грани, равен R.

2. Основанием пирамиды, все боковые рёбра которой равны между собой, служит равнобедренный треугольник с боковой стороной а и острым углом при вершине a. Боковая грань пирамиды, проходящая через основание треугольника, наклонена к основанию пирамиды под углом b. Найдите объём конуса, описанного около этой пирамиды.

3. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом a. Диагональ большей боковой грани равна а и образует с боковым ребром угол b. Найдите объём призмы.

 

Вариант 3

 

1. Боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом a. Радиус круга, описанного около основания, равен R. Найдите объём пирамиды.

2. Найдите объём конуса, вписанного в правильную треугольную пирамиду с боковым ребром l и плоским углом a при вершине.

3. Основанием прямой призмы служит ромб со стороной а и острым углом a. Площадь диагонального сечения, проходящего по меньшей диагонали ромба, равна Q. Найдите объём призмы.

 

Вариант 4

 

1. В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковыми сторонами b и углом при вершине a. Найдите объём пирамиды, если все её боковые рёбра равны b.

2. В правильной треугольной пирамиде вершина основания находится на расстоянии b от противолежащей боковой грани. В пирамиду вписан конус, у которого угол между образующей и плоскостью основания равен a. Найдите объём конуса.

3. Сторона основания треугольной пирамиды равна а, прилежащие к ней углы основания соответственно равны a и b. Все боковые рёбра составляют с высотой пирамиды один и тот же угол, равный j. Найдите объём пирамиды.

Самостоятельная работа 22

 

Вариант 1

 

1. В шар объёмом V вписан конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом a. Найдите объём конуса.

2. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна S. Боковая грань наклонена к плоскости основания под углом a. Найдите объём пирамиды.

 

Вариант 2

 

1. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом a, вписан шар. Объём конуса равен V. Найдите объём шара.

2. Объём правильной треугольной пирамиды равен V. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен a. Найдите сторону основания пирамиды.

 

Вариант 3

 

1. Объём конуса равен V. Его образующая наклонена к плоскости основания под углом a. Вычислите полную поверхность конуса.

2. Основание прямой призмы – треугольник, два угла которого равны a и b. Объём призмы равен V. Определите объём описанного около призмы цилиндра.

 

Обобщающие самостоятельные работы

 

Самостоятельная работа 1

 

1. В основании призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (Ð B = 90°), AB = BC = . Известно, что A1B ^ AC и A1B ^ BC.

    а) Докажите, что DBA1C1 – прямоугольный.

    б) Найдите двугранный угол между плоскостью ABC и боковой гранью AA1C1C, если A1B = 3 см.

2. Три прямые OP, OQ и OR образуют между собой углы

Ð POQ = 60°,  Ð POR = 45°, Ð QOR  =  30°.

    а) Найдите двугранный угол при ребре OQ.

    б) Можно ли в сечении данного трёхгранного угла плоскостью получить равносторонний треугольник?

3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точку P, лежащую на диагонали куба AC1 и такую, что AP = 2PC1, проведена плоскость, перпендикулярная этой диагонали.

   а)  Постройте сечение.

   б) Найдите его площадь, если ребро куба равно a. 

4. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна , а высота SO = 1. M – середина CS; К Î AS; SK = 2AK.

  а) Найдите угол между BM и CK.

  б) Найдите угол между (SBC) и плоскостью основания.

5. Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна S. Зная, что угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен a, найдите: а) сторону основания; б) двугранный угол при боковом ребре.

6. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1  AB = 4; AD = 2; AA1 = 6; Ð BAD = 60°; Ð A1AB = 60°; Ð A1AD = 45°. Найдите: а) угол между BD1 и AC; б) длину AC1.

7. Через вершину правильной треугольной пирамиды и середины сторон AB и CB основания проведено сечение. Длина стороны основания равна a, а угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен a. Найдите: а) площадь сечения;

б) угол между плоскостью сечения и плоскостью боковой грани SCA.

8. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 2, а боковое ребро SA = 6. Через среднюю линию KL боковой грани ABS (KL || AB) проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру SC. Найдите: а) площадь сечения; б) угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

   а) построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью a, проходящей через точку М – середину ребра АА1, перпендикулярно диагонали B1D.

  б) Найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно a.

10. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a; O – точка пересечения диагоналей AC и BD грани ABCD.

   а) Постройте сечение куба плоскостью a: О Î a; BD || a; A1C1 || a.

   б) Найдите площадь сечения.

11. Дана пирамида SABCD, основание которой – параллелограмм ABCD. М и P – середины сторон SB и SD.

     а) Постройте сечение пирамиды плоскостью AMP.

     б) Определите, в каком отношении плоскость AMP делит ребро SC.

12. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны а.

     а) Постройте сечение призмы, проведённое через середины рёбер АВ, АА1, А1С1.

     б) Найдите площадь сечения.

13. Двугранный угол между смежными боковыми гранями правильной четырёхугольной пирамиды равен 120°, боковая поверхность её равна 18 см2. Найдите: а) высоту пирамиды;

б) площадь основания пирамиды.

14. В основании пирамиды лежит ромб ABCD со стороной АВ = а. АС = 1,5 а; SO^(ABC), О – точка пересечения диагоналей ромба, SO = 1,5 AC. Через точку А и середину Р ребра SC проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол в 45°.

    а) Постройте сечение.

    б) Найдите площадь сечения.

15. Основанием пирамиды SABCD служит ромб с диагоналями AC = a и BD = b. Боковое ребро SA = m, SА^(ABC)  Через точку А и середину К ребра SC проведена плоскость, параллельная диагонали основания BD.

    а) Постройте сечение пирамиды указанной плоскостью.

    б) Найдите площадь сечения.

16. Точка М лежит на ребре ВС = а куба ABCDA1B1C1D1 (A1B1C1D1 – нижнее основание).

    а) Постройте сечение этого куба плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости (A1BD).

    б) Найдите площадь сечения, если BM = .

 

Самостоятельная работа 2

 

Вариант 1

 

В основании пирамиды DABC лежит правильный треугольник АВС со стороной, равной а. Две боковые грани ADB и ODB перпендикулярны плоскости основания. Их общее ребро тоже равно а.

1. Каково взаимное расположение прямых: 1) АВ и CD; 2) BD и AC; 3) PQ и АС, где P и Q – соответственно середины рёбер АВ и CD? Дайте обоснование.

2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания параллельно рёбрам АС и BD. Определите вид сечения и найдите его площадь.

3. Найдите угол между гранями: 1) ADB и CDB; 2) DAC и ABC.

4. Чему равен угол между BD и гранью ADC?

5. Найдите угол между АВ и DC.

6. Чему равно расстояние между АВ и CD?

 

Вариант 2

 

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 служит прямоугольный треугольник АВС (Ð С = 90°); АС = СВ = а. Боковые рёбра тоже равны а.

1. Каково взаимное положение прямых: 1) АА1 и ВС; 2) А1С1 и ВС; 3) EF и АС, где Е Î АВ1 (АЕ : ЕВ1 = 1 : 2) и F Î СВ1 (CF : FB1 =  = 2 : 1)? Дайте обоснование.

2. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через АС и середину В1С1. Определите вид сечения и найдите его площадь.

3. Найдите угол: 1) между плоскостью сечения и плоскостью основания; 2) между плоскостью сечения и плоскостью грани СС1В1В.

4. Чему равен угол между В1С и плоскостью грани АА1В1В?

5. Найдите угол между АВ и В1С.

6. Чему равно расстояние между АВ и В1С?

 

Вариант 3

 

Основанием пирамиды МАВСD служит квадрат ABCD со стороной, равной а. Грань АМВ является правильным треугольником и перпендикулярна плоскости основания.

1. Каково взаимное положение прямых: 1) МВ и AD; 2) АС и МD; 3) EF и РТ, где E, F, T и Р – соответственно середины рёбер МА, МС, CD и AD? Дайте обоснование.

2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину AD параллельно грани АМВ. Определите вид сечения и найдите его площадь.

3. Чему равен угол между плоскостями: 1) АВС и DMC;

2) АМВ и DMC?

4. Чему равен угол между MD и плоскостью АМВ?

5. Чему равен угол между MD и АС?

6. Найдите расстояние между ВС и MD.

 

Вариант 4

 

В тетраэдре DABC грани АВС и DBC – правильные треугольники со стороной, равной а. Плоскости этих граней перпендикулярны.

1. Каково взаимное положение прямых: 1) АС и DB; 2) AD и ВС; 3) EF и BC, где Е и F – соответственно середины рёбер АС и BD? Дайте обоснование.

2. Через вершину А и середину М ребра DC проведите плоскость параллельно ВС. Определите вид сечения и найдите его площадь.

3. Найдите угол между плоскостями: 1) ADC и АВС; 2) ADC и ADB.

4. Найдите угол между медианой грани ADC, проведённой из вершины А, и плоскостью АВС.

5. Найдите угол: 1) между AD и ВС; 2) между АВ и DC.

6. Найдите расстояние между AD и ВС.

 

Самостоятельная работа 3

 

Вариант 1

 

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит ромб, диагонали которого АС = 8 и BD = 6. Через диагональ BD и середину ребра СС1 проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45°.

1. На какие части эта плоскость делит объём параллелепипеда?

2. Найдите площадь поверхности призмы AB1BDC1C.

3. Чему равен угол между диагональю А1С и плоскостью грани DD1C1C?

 

Вариант 2

 

Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (Ð С = 90°); АС = СВ = 4. Боковые рёбра наклонены к основанию под углом 60°.

1. На какие части плоскость CEF (F – середина BD, точка Е лежит на ребре АВ) делит объём пирамиды, если АЕ : ЕВ = 1 : 3?

2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Чему равен двугранный угол, образованный гранями ADC и BDC?

 

Вариант 3

 

Основанием наклонной призмы ABCA1B1C1 служит правильный треугольник со стороной, равной 4. Вершина А1 проецируется на середину стороны ВС; боковые рёбра составляют с плоскостью основания угол 45°.

1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2. Через сторону основания ВС перпендикулярно грани СС1В1В проведена плоскость. В каком отношении она делит объём призмы?

3. Найдите расстояние от вершины В до боковой грани АА1С1С.

 

Вариант 4

 

В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник АВС. АВ = ВС = 10; АС = 12. Высота пирамиды равна 4. Боковые грани пирамиды равнонаклонены к основанию.

1. Через точки А, О и Е, где Е – середина МВ, а О – основание высоты МО пирамиды, проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

2. Найдите площадь поверхности пирамиды.

3. Чему равен угол между МВ и плоскостью грани АМС?

 

Самостоятельная работа 4

 

Вариант 1

 

Наибольший угол между образующими конуса равен 120°. Площадь осевого сечения равна 16.

1. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Найдите центральный угол в развёртке боковой поверхности конуса.

3. В данный конус вписан другой конус, основание которого параллельно основанию данного конуса и делит его высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины. Вершина вписанного конуса совпадает с центром основания данного. Найдите отношение объёмов этих конусов.

4. Найдите площадь поверхности шара, описанного около данного конуса.

 

Вариант 2

 

В цилиндре, высота которого равна 8, через его образующую проведены две плоскости, угол между которыми 60°. Площади сечений равны 32.

1. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Найдите острый угол между диагоналями развёртки боковой поверхности цилиндра.

3. Выясните, можно ли в данный цилиндр вписать шар, и, если да, то найдите отношение их объёмов.

4. Найдите площадь поверхности шара, описанного около этого цилиндра.

 

Вариант 3

В усечённый конус вписан шар, диаметр которого равен 5. Образующие конуса составляют с плоскостью основания

угол 60°.

1. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Найдите объём конуса.

3. Укажите размеры развёртки боковой поверхности конуса (центральный угол развёртки, радиусы концентрических окружностей).

4. Какова площадь поверхности шара, описанного около конуса?

 

Вариант 4

 

Цилиндр, осевое сечение которого квадрат, вписан в конус так, что окружность верхнего основания цилиндра касается боковой поверхности конуса, а нижнее основание лежит на основании конуса. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 16p, а образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 45°.

1. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Какова наибольшая возможная площадь сечения, проведённого через вершину конуса?

3. Найдите отношение объёма конуса, проведённого через вершину конуса.

4. Найдите объём вписанного в конус шара.

 

Самостоятельная работа 5

 

Вариант 1

1. В наклонной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны а; Ð А1АС = Ð А1АВ = 60°. Используя векторы: 1) найдите угол между А1С и медианой АК основания; 2) докажите, что грань СС1В1В – прямоугольник.

2. Призма ABCA1B1C1 задана координатами своих вершин: А(1; 2; 2);  В(-1; -1; 2); С(3; -2; 2); А1(1; 2; 5). Найдите угол между прямой АЕ, где Е – середина А1С1, и плоскостью, которая перпендикулярна грани В1С.

 

Вариант 2

 

1. Основанием тетраэдра служит правильный треугольник АВС со стороной, равной а. АМ = 2а; Ð МАС = Ð МАВ = 45°. Используя векторы: 1) докажите, что АМ ^ СВ; 2) найдите расстояние между серединами рёбер АЕ и ВМ.

2. Пирамида МАВСD задана координатами своих вершин:

М(-1; 2; 5); А(1; -1; 2); В(-2; 1; 2); С(-1; 3; 2); D(3; 1; 2). Найдите объём пирамиды.

 

Вариант 3

 

1. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основанием служит ромб АВСD со стороной а и углом А, равным 60°. Боковые рёбра тоже равны а. Используя векторы: 1) найдите угол между АЕ и BD, где Е – центр симметрии грани DD1C1C; 2) докажите, что А1С ^ BD.

2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Используя метод координат, найдите угол между FE и плоскостью А1ВD, где F – середина DC, а Е – середина В1С1.

 

Вариант 4

 

1. В правильном тетраэдре DABC рёбра равны а; М – точка пересечения медиан грани BDC, а Е – середина ребра AD. Используя векторы: 1) найдите расстояние ЕМ; 2) докажите, что РК ^ AD, где Р и К – соответственно середины рёбер DC и DB.

2. Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник ABCD, где АВ = 2 и AD = 1. Грань АМВ – равнобедренный треугольник, плоскость которого перпендикулярна основанию пирамиды. Высота пирамиды равна 1. Используя метод координат, найдите угол между AF и DE, где F – середина MD, а Е – середина МС.