Название: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - Методические указания (Е.А. Лебедева)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1027


Тема 1.  аксиомы стереометрии и их следствия

 

При изучении материала темы необходимо усвоить:

· аксиомы стереометрии;

· теорему о существовании плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку;

· теорему о пересечении прямой с плоскостью;

· теорему о существовании плоскости, проходящей через три данные точки;

· теорему о разбиении пространства плоскостью на два полупространства.

В процессе решения задач проверяются следующие умения:

· использовать изученные свойства плоских геометрических фигур при исследовании геометрических объектов пространства, лежащих в одной плоскости;

· находить на рисунке заданные точки, прямые и плоскости;

· иллюстрировать на моделях и изображать на рисунке названные фигуры в заданном взаимном расположении;

· задавать плоскость с помощью трех точек, пересекающихся или параллельных прямых и изображать её на рисунке.

 

Вопросы теоретического зачета

 

Вариант 1

 

1. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.

2. Сформулируйте аксиому откладывания углов в пространстве.

3. Перечислите условия существования плоскости.

4. Докажите теорему о принадлежности двух пересекающихся прямых плоскости.

Вариант 2

 

1. Сформулируйте аксиому расположения точек на прямой.

2. Сформулируйте аксиому параллельных прямых в пространстве.

3. Перечислите аксиомы, выражающие основные свойства плоскостей в пространстве.

4. Докажите теорему о существовании плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку.

 

Самостоятельная работа 1

 

Вариант 1

 

1. Точки A, B, C лежат на прямой l. Точка P не принадлежит ей. Докажите, что точки A, B, C, P лежат в одной плоскости.

2. а) Докажите, что все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересека-

ются.

    б) Вычислите площадь четырехугольника, если AC ^ BD,

AC = 10 см, BD = 12 см.

3. Три луча с общим началом не лежат в одной плоскости. Задайте на этих лучах четыре точки, которые не лежат в одной плоскости.

 

Вариант 2

 

1. Прямая m имеет с пересекающимися прямыми a и b две общие точки. Докажите, что эти прямые расположены в одной плоскости.

2. а) Дан прямоугольник ABCD. O – точка пересечения диагоналей AC и BD. Известно, что точки A, B, O лежат в плоскости a. Докажите, что точки C и D также лежат в плоскости a.

   б) Вычислите площадь прямоугольника, если AC = 8 см,

Ð AOB = 60°.

3. Прямые a и b пересекаются. Задайте двумя точками прямую, которая лежит с прямыми a и b в одной плоскости.