Название: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - Методические указания (Е.А. Лебедева)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1091


Тема 2.  параллельность прямых и плоскостей

 

При изучении материала темы необходимо усвоить:

· определение параллельных, пересекающихся и скрещивающихся прямых;

· теорему о существовании прямой, проходящей через точку вне данной прямой, параллельно ей;

· признак параллельности прямых;

· признак параллельности прямой и плоскости;

· признак параллельности плоскостей;

· теорему о существовании плоскости, параллельной данной плоскости;

· свойства параллельных плоскостей.

В процессе решения задач проверяются следующие умения:

· характеризовать пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые;

· находить на моделях и рисунках пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые, правильно изображать их на рисунках;

· доказывать параллельность прямых в пространстве для случаев типичного расположения прямых;

· характеризовать случаи взаимного расположения прямой и плоскости;

· находить на моделях и рисунках прямые, пересекающие плоскость и параллельные ей;

· правильно изображать на рисунках пересечение прямой и плоскости, параллельность прямой и плоскости;

· задавать прямую, параллельную плоскости;

· доказывать параллельность прямой и плоскости;

· характеризовать случаи взаимного расположения плоскостей;

· доказывать параллельность плоскостей.

 

Вопросы теоретического зачета

 

Вариант 1

 

1. Сформулируйте определение параллельных прямых.

2. Докажите признак скрещивающихся прямых.

3. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.

 

Вариант 2

 

1. Сформулируйте определение прямой, параллельной плоскости.

2. Докажите теорему о пересечении плоскости параллельными прямыми.

3. Нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

 

Вариант 3

 

1. Сформулируйте определение скрещивающихся прямых.

2. Докажите признак параллельности двух плоскостей.

3. Докажите теорему о плоскостях, проходящих через скрещивающиеся прямые.

 

Вариант 4

 

1. Сформулируйте определение угла между скрещивающимися прямыми.

2. Докажите теорему о двух прямых, параллельных третьей.

3. Докажите теорему о линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей.

 

Вариант 5

 

1. Сформулируйте определение параллельных плоскостей.

2. Докажите теорему об углах с сонаправленными сторонами.

3. Докажите теорему о плоскости, проходящей через данную прямую, параллельную другой плоскости.

 

Самостоятельная работа 2

 

Вариант 1

 

1. Точка A лежит в плоскости a, а B – вне её. Через точку M, которая делит AB на части 2 : 3, считая от точки A, проведён отрезок MC, параллельный плоскости a и равный 30 см. Вычислите расстояние от точки A до точки пересечения прямой BC с плоскостью a.

2. Равные квадраты ABCD и ABС1D1 лежат в разных плоскостях. Принадлежат ли одной плоскости точки C, D, С1, D1? Если да, то как расположены эта плоскость и прямая AB? Вычислите сумму расстояний от C до С1, D1, D, если угол СBC1 равен 60°, AB = a.

3. Через точку M, расположенную между параллельными плоскостями a и b, проведены прямые a и b. Прямая a пересекает плоскости в точках А и А1, b – соответственно в B и B1, a ^ a, a ^ b.

Вычислите расстояние между a и b, если AB = 8, А1B1 =

 = 6, MA – MA1 = 2,5.

4. Отрезок AB не имеет общих точек с плоскостью a. Через его концы и середину – точку M проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость a в точках A1, B1, M1 . Вычислите длину MM1, если AA1 = 3, BB1  = 17.

5. Периметр параллелограмма ABCD равен 36. Точка K расположена вне его плоскости. Вычислите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины отрезков AK, BK, CK и DK. Чему равно отношение расстояний от точки K до плоскостей четырехугольника?

 

Вариант 2

 

1. Через точку K стороны AB треугольника ABC проведена плоскость a, параллельная AC и пересекающая BC в точке M. Как расположены плоскость a и средняя линия данного треугольника, параллельная AC? Вычислите расстояние между K и M; если AC = 32, AK : KB = 5 : 3.

2. Через точку K стороны AB параллелограмма ABCD проведена плоскость, параллельная BC. Вычислите длины отрезков, на которые делит эта плоскость диагональ BD, если BD = 24, AK =

 = 10, BK = 8.

3. Стороны угла A пересекают параллельные плоскости a и b. На одной его стороне образуются отрезки AB = 18, BB1  = 12,

на другой AC и CC1, причем CC1 на 4 меньше, чем AC. Найдите длины AC и CC1 .

4. Плоскости a и a1 параллельны. AA1 и BB1 пересекаются в точке O. Концы отрезков AA1 и BB1 лежат в плоскостях a и a1.

A и B Î a, A1 и B1 Î a1. Расстояние от O до AB на 6 меньше расстояния до A1B1. Вычислите эти расстояния, если OB:BB1  = 3 : 8.

5. Точка M расположена вне трапеции ABCD. Её основания AD и BC равны 10 и 8 соответственно, P и K – середины отрезков MB и MC. Вычислите длину отрезка, концами которого служат середины отрезков AP и DK.

 

Самостоятельная работа 3

 

Вариант 1

 

1. Одно из оснований трапеции расположено в плоскости a. Через середины боковых сторон трапеции проведена прямая l. Докажите, что прямая l параллельна плоскости a.

2. Дан треугольник MPK. Плоскость, параллельная прямой MK, пересекает сторону MP в точке M1, а сторону PK в точке K1. Вычислите длину отрезка M1 K1 , если PK : PK1  = 9 : 5, MK = 27.

3. Точка O не принадлежит плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков OC и OD, параллельна прямой AB.

 

Вариант 2

 

1. Одна из сторон треугольника лежит в плоскости a. Докажите, что прямая, проходящая через середины двух других сторон треугольника, параллельна плоскости a.

2. Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой AC, пересекает сторону в точке A1, а сторону BC в точке C1. Вычислите длину отрезка BC1, если A1 C1  : AC = 3 : 7, BC = 35.

3. Точка F не принадлежит плоскости трапеции ABCD (AD и BC – основания). Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков FB и FC, параллельна средней линии трапеции.

 

Самостоятельная работа 4

 

Вариант 1

 

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 докажите, что прямые DD1 и BC скрещивающиеся, найдите угол между ними.

2. Докажите, что в правильной четырехугольной пирамиде SABCD диагональ AC и ребро SD есть скрещивающиеся прямые, построить угол между ними.

 

Вариант 2

 

1. Докажите, что в кубе ABCDA1B1C1D1 прямые AB1 и D1C скрещивающиеся. Найдите угол между ними.

2. Даны две скрещивающиеся прямые a и b, точки A и B принадлежат прямой a, а точки С и D – прямой B. Докажите, что прямые AC и BD тоже скрещивающиеся.