Название: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - Методические указания (Е.А. Лебедева)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1091


Тема 4.  векторы в пространстве

 

При изучении материала темы необходимо усвоить:

· определение координат точки в пространстве;

· формулу расстояния между точками;

· координаты середины отрезка;

· преобразование фигур в пространстве;

· определение угла между скрещивающимися прямыми,

   между прямой и плоскостью, между плоскостями;

· определение абсолютной величины вектора;

· определение действий над векторами.

В процессе решения задач необходимо проявить умения:

 · находить угол между прямой и плоскостью, между плоскостями, между скрещивающимися прямыми;

· находить расстояние между точками, заданными координа-

  тами;

· находить координаты середины отрезка;

· выполнять действия с векторами;

· составлять уравнение плоскости.

 

Вопросы теоретического зачёта

 

Вариант 1

 

1. Сформулируйте определение вектора. Перечислите способы задания вектора.

2. Сформулируйте определение произведения вектора на число и его свойства.

3. Выведите правило параллелепипеда для трёх некомпланарных векторов.

4. Выведите формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов, если известны координаты этих векторов.

 

Вариант 2

 

1. Сформулируйте определение коллинеарных и компланарных векторов. Приведите примеры.

2. Сформулируйте правило сложения двух векторов и его свойства.

3. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке P, образованных боковыми рёбрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке P, образованных апофемами пирамиды.

4. Выведите формулу длины вектора , если  =  + , где  и  – векторы любой длины с произвольным углом между ними.

 

Вариант 3

 

1. Сформулируйте определение равных векторов. Изобразите квадрат и укажите в нём равные векторы.

2. Сформулируйте определение разности двух векторов и приведите примеры вычитания векторов на плоскости и пространстве.

3. Выведите формулу для вычисления длины диагонали параллелепипеда, если одна из его вершин находится в начале координат.

4. Сформулируйте и докажите свойства скалярного произведения двух векторов.

 

Вариант 4

 

1. Сформулируйте определение орта данного  вектора и проиллюстрируйте это понятие на примерах.

2. Сформулируйте правило сложения конечного числа векторов и приведите примеры для плоских и пространственных фигур.

3. Докажите теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам.

4. Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов и выведите формулу для вычисления скалярного произведения с помощью проекции одного вектора на другой.

 

Самостоятельная работа 12

 

Вариант 1

 

1. Найдите координаты точки, симметричной точке А(2; 3; 1) относительно: а) плоскости ОXY, б) плоскости OXZ, в) плоскости OYZ, г) оси ОX, д) оси OY, е) оси OZ.

2. Докажите, что треугольник с вершинами А(3; -1; 2), B(0; -4; 2), C(-3; 2; 1) – равнобедренный.

3. На оси абсцисс найдите точку, расстояние которой от точки А(-3; 4; 8) равно 12.

4. Даны вершины A(2; -3; -5), B(-1; 3; 2) параллелограмма ABCD и точка пересечения его диагоналей E(4; -1; 7). Найдите две других его вершины.

 

Вариант 2

 

Даны вершины A(2; -1; 4), B(3; 2; -6), C(-5; 0; 2) треугольника. Вычислите длину его медианы, проведенной из вершины A.

Найдите центр С и радиус шаровой поверхности R, которая проходит через точку P(4; -1; -1) и касается всех трех координатных плоскостей.

3. Найдите координаты точки, симметричной точке B(5; -3; 2) относительно: а) плоскости OXY, б) плоскости OXZ,  в) плоскости OYZ,  г) оси OX,  д) оси OY,  е) оси OZ.

4. Докажите, что треугольник с вершинами A1(-1; 2; -1),

A2(3; -1; 7), А3(7; 4; -2) – равнобедренный.

Вариант 3

 

1. Даны точки A(1; -3; 7) и B(5; 7; -5). На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек A и B.

2. Даны вершины А(3; -4; 7), B(1; 2; -4), C(-1; 1; 2) параллелограмма ABCD. Найдите его четвертую вершину D, противоположную B.

3. Найдите координаты точки, симметричной точке C(-3; 2; -1) относительно: а) плоскости OXY, б) плоскости OXZ, в) плоскости OYZ, г) оси OX, д) оси OY, е) оси OZ.

4. Дано: А(2; -1; 0), B(-2; 3; 2), C(0; 0; -4), D(-4; 0; 2). Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD.

 

Самостоятельная работа 13

 

Вариант 1

 

1. Векторы  и  образуют угол j = 60°, причём ½  ½ = 5 и ½  ½ = 8. Определите ½  +  ½ и ½  –  ½.

2. Векторы  и  взаимно перпендикулярны; вектор  образует с ними углы, равные ; зная, что ½  ½ = 3, ½  ½ = 5,

½  ½ = 8, вычислите (3  – 2 )×( + 3 ).

3. Дано, что ½  ½ = 3, ½  ½ = 5. Определите, при каком значении a векторы ( + a) и (  - a) будут взаимно перпендикулярны.

4. Даны три вектора: (1; -3; 4), (3; -4; 2), (-1; 1; 4). Вычислите проекцию вектора  на вектор  

5. Даны вершины треугольника A(-1; -1; 4), B(-4; -2; 0),

C(3; -2; 1). Определите его внутренний угол при вершине B.

 

Вариант 2

 

1. Векторы  и  образуют угол j = 120°, причём ½  ½ = 3 и ½  ½ = 5. Определите ½  +  ½ и ½  –  ½.

2. Векторы  и  взаимно перпендикулярны; вектор  образует  ними углы, равные ; зная, что ½  ½ = 4, ½  ½ = 7,

½  ½ = 5, вычислите (2  – 4 )×(  + 3 ).

3. Дано, что ½  ½ = 5, ½  ½ = 8. Определите, при каком значении a векторы ( +a) и (  - a) будут взаимно перпендикулярны.

4. Даны три вектора:  =  

Вычислите проекцию вектора на вектор .

5. Даны вершины треугольника A(3;2;-3), B(5;1;-1), C(1;-2;1). Определите его внешний угол при вершине A.