Название: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - Методические указания (Е.А. Лебедева)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1091


Тема 5. многогранники

 

При изучении материала темы необходимо усвоить:

· определение многогранника и его видов;

· определение геометрического тела;

· определение элементов многогранников;

· свойства граней и диагоналей параллелепипеда;

· определение боковой и полной поверхностей многогранников, вывод соответствующих формул.

В процессе решений задач проверяются следующие умения:

· изображать многогранники;

· определять виды многогранников;

· вычислять элементы многогранников;

· вычислять углы наклона рёбер многогранников к плоскости основания, линейные углы двугранных углов;

· строить сечения многогранников плоскостями, проходящими через заданные точки;

· вычислять площади боковой и полной поверхности многогранников.

 

Вопросы теоретического зачёта

 

Вариант 1

 

1. Понятие многогранника. Виды многогранников. Элементы многогранников.

2. Докажите теорему о площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды.

3. Прямоугольный параллелепипед пересечён диагональной плоскостью. Чему равен объём его каждой части?

 

Вариант 2

 

1. Призма. Виды призмы. Элементы призмы.

2. Докажите свойства боковых рёбер и боковых граней правильной пирамиды.

3. Запишите формулу площади боковой поверхности правильной восьмиугольной призмы, если её боковое ребро равно a, сторона основания b.

 

Вариант 3

 

1. Понятие геометрического тела. Поверхность тела. Секущая плоскость тела.

2. Докажите свойство противолежащих граней параллелепипеда.

3. Дана правильная четырёхугольная пирамида. Можно ли утверждать, что её боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом? Ответ обоснуйте.

 

Вариант 4

 

1. Пирамида. Виды пирамиды. Элементы пирамиды.

2. Докажите свойство диагоналей параллелепипеда.

3. Площади оснований правильной пирамиды и правильной призмы равны. Высота первого тела вдвое больше высоты второго. Объём какого тела больше?

 

Самостоятельная работа 14

 

Вариант 1

 

1. Найдите длину диагонали правильной четырёхугольной призмы, сторона основания которой 10 см, диагональ боковой грани 18 см.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда 6 и 7 см, диагональ основания 11 см. Высота параллелепипеда 10 см. Найдите площади диагональных сечений.

3. В правильной треугольной призме сторона основания a =

= 10 см, высота h = 15 см. Найдите площадь боковой и полной поверхностей призмы.

 

Вариант 2

 

1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и

8 см, длина диагонали параллелепипеда 26 см. Найдите высоту параллелепипеда и площадь диагонального сечения.

2. В прямом параллелепипеде стороны основания 10 и 17 см, одна из диагоналей основания 21 см, большая диагональ параллелепипеда 29 см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

3. В правильной четырёхугольной призме сторона основания a = 12 дм, высота h = 8 дм. Найдите площадь боковой и полной поверхностей призмы.

 

Вариант 3

 

1. В основании прямого параллелепипеда 6 см и острым углом 60°. Найдите диагонали параллелепипеда, если меньшая диагональ составляет с плоскостью основания угол 45°.

2. В прямом параллелепипеде сторона основания 6 и 8 м и образуют угол в 30°, боковое ребро равно 5 м. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.

3. В правильной шестиугольной призме сторона основания

a = 23 см, высота h = 5 дм. Найдите площадь боковой и полной поверхностей призмы.

 

Вариант 4

 

1. Стороны основания прямого параллелепипеда 6 и 8 см, а диагонали параллелепипеда наклонены к основанию под углами 45° и 30°. Найдите длины этих диагоналей.

2. Сторона основания правильной треугольной призмы 12 см, а высота 6 см. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания призмы.

3. В правильной пятиугольной призме сторона основания

a = 0,4 м, высота h = 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхностей призмы.

 

Самостоятельная работа 15

 

Вариант 1

 

1. Стороны оснований треугольной пирамиды равны 6, 10,

14 см. Плоскости боковых граней наклонены к основанию под углом 60°. Найдите полную поверхность пирамиды.

2. Найдите площади двух параллельных основанию пирамиды сечений, зная, что одна из них на 34 дм2 больше другой, а расстояния от этих сечений до вершины пирамиды относятся как 8 : 9.

3. Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны 8 и 12 дм. Найдите площадь среднего сечения пирамиды.

 

Вариант 2

 

1. Основанием пирамиды служит ромб, одна из диагоналей которого равна стороне. Высота пирамиды проходит через вершину тупого угла ромба и равна H. Две грани образуют с плоскостью основания углы в 45°. Найдите боковую поверхность пирамиды.

2. В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту в отношении 3 : 5 (считая от вершины пирамиды), площадь сечения меньше площади основания пирамиды на 330 см2. Найдите площадь сечения.

3. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде площади оснований равны 64 см2 и 144 см2; двугранный угол при большем основании равен 60°. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через две противолежащие апофемы пирамиды.

 

Вариант 3

 

1. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 2 дм, двугранные углы при боковых рёбрах равны по 120°. Найдите боковую поверхность пирамиды.

2. В правильной треугольной пирамиде плоскость сечения, параллельного основанию, разделила высоту пополам. Площадь полученного сечения 4дм2. Найдите сторону основания пирамиды.

3. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 18 и 24 см, боковое ребро наклонено к плоскости большего основания под углом 45°. Найдите площадь диагонального сечения.

 

Вариант 4

 

1. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3a и 4a; каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 60°. Найдите полную поверхность пирамиды.

2. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8 дм, высота пирамиды 10 дм. Плоскость, параллельная основанию, разделила высоту в отношении 2 : 3 (считая от вершины пирамиды). Найдите площадь сечения.

3. В правильной усечённой шестиугольной пирамиде стороны оснований равны 12 и 16 см, высота пирамиды 18 см. Найдите площадь наибольшего диагонального сечения и площадь среднего сечения пирамиды.

 

Самостоятельная работа 16

 

Вариант 1

 

1. Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через концы трёх рёбер, выходящих из одной вершины равна 18 Найдите длину ребра куба.

2. Постройте сечения.

 

Вариант-2

 

1. Через диагональ нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания прямоугольного параллелепипеда проведена плоскость. Найдите синус угла между этой плоскостью и плоскостью основания, если рёбра оснований 15 и 20 см, а боковое ребро 16 см.

 

2. Постройте сечения.

Вариант 3

 

1. Ребро куба равно 12 см. Найдите площадь сечения, проведённого через середины двух смежных сторон основания параллельно какой-либо диагонали куба.

2. Постройте сечения.

 

Вариант 4

 

Стороны основания и боковое ребро прямоугольного параллелепипеда соответственно равны 12, 16 и 15 см. Определите площадь сечения, проведённого через диагональ параллелепипеда параллельно скрещивающейся диагонали основания.

Постройте сечения.