Название: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - Методические указания (Е.А. Лебедева)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1027


Тема 6.  тела  вращения

 

При изучении материала темы необходимо усвоить:

· виды тел вращения;

· определения тел вращения;

· определения элементов тел вращения;

· понятия развёртки цилиндра и конуса;

· определение и вычисление боковой и полной поверхности цилиндра и конуса;

· определение касательной плоскости к сфере и её свойства;

· понятие площади поверхности сферы;

· определение многогранника, вписанного в сферу, и описанного около неё.

 

В процессе решения задач проверяются следующие умения:

· изображать тела вращения;

· вычислять элементы тел вращения;

· изображать сечения тел;

· вычислять площади боковой и полной поверхности цилиндра и конуса;

· составлять уравнение сферы.

 

Вопросы теоретического зачёта

 

Вариант 1

 

1. Понятие цилиндрической поверхности и её элементов. Сформулируйте определение цилиндра и его элементов.

2. Выведите формулу для вычисления площади поверхности сферы.

3. Найдите отношение площади боковой поверхности и осевого сечения конуса.

 

Вариант 2

 

1. Понятие конической поверхности. Сформулируйте определение конуса и его элементов.

2. Определите положение центра сферы, описанной около правильной четырёхугольной пирамиды. Докажите своё утверждение.

3. Найдите отношение площадей боковой поверхности и осевого сечения цилиндра.

 

Вариант 3

 

1. Сформулируйте определение усечённого конуса и его элементов.

2. Определите положение центра сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду. Докажите своё утверждение.

3. Докажите, что полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, имеющего диаметром высоту конуса.

Вариант 4

 

1. Сформулируйте определения сферы и шара. Запишите уравнения сферы радиусом R с центром в точке О(0; 0; 0) и в точке А(x0; y0; z0).

2. Выведите формулу для вычисления боковой поверхности конуса.

3. Докажите, что площадь полной поверхности цилиндра равна площади боковой поверхности другого цилиндра того же радиуса, высота которого равна сумме радиуса и высоты данного цилиндра.

 

Самостоятельная работа 17

 

Вариант 1

 

1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 16. Найдите площадь сечения этого цилиндра, которое параллельно оси и находится от неё на расстоянии, равном половине радиуса основания цилиндра.

2. Полукруг свёрнут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и высотой конуса.

3. Радиусы двух шаров 16 и 20 дм, расстояние между их центрами 25 дм. Найдите длину окружности, по которой пересекаются их поверхности.

 

Вариант 2

 

1. Радиус основания цилиндра 26 см, образующая 4,8 дм. На каком расстоянии от оси цилиндра следует провести сечение, параллельное оси и имеющее форму квадрата?

2. Радиус сектора равен 3 м, его угол 120°. Сектор свёрнут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конуса.

3. Диагонали ромба 30 и 40 см. Шаровая поверхность касается всех сторон ромба. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба, если радиус шара равен 13 см.

 

Вариант 3

 

1. Радиус основания цилиндра равен 12 см. Найдите расстояние между осевым сечением и сечением с вдвое меньшей площадью.

2. Угол развёртки боковой поверхности конуса равен 120°. Образующая конуса 15 см. Вычислите диаметр основания конуса.

3. На шар, радиус которого 10 см, наложен ромб так, что каждая сторона его, равная 12,5 см, касается шара. Плоскость ромба удалена от центра шара на 8 см. Найдите площадь ромба.

 

Вариант 4

 

1. Через образующую цилиндра проведены два взаимно перпендикулярных сечения, площади которых равны 60 и 80 дм. Найдите площадь осевого сечения.

2. Радиус основания конуса равен 12 см, образующая 40 см. Вычислите угол развёртки этого конуса.

3. Стороны треугольника 10 дм, 10 дм и 12 дм. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касательного к сторонам треугольника. Радиус шара 5 дм.

 

Самостоятельная работа 18

 

Вариант 1

 

1. Диагональ осевого сечения цилиндра на 25 \% превышает диаметр его основания. Найдите полную поверхность цилиндра, если расстояние между его центрами равно 15 см.

2. Развёртка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 4 дм. Найдите объём цилиндра.

3. Диагонали осевого сечения усечённого конуса взаимно перпендикулярны, высота конуса H, образующая l. Найдите боковую поверхность конуса.

4. Радиус основания конуса равен 12 см, образующая 40 см. Найдите угол развёртки боковой поверхности конуса.

5. Образующая усечённого конуса 10 см, разность оснований 6 см, площадь осевого сечения 112 см2. Найдите боковую поверхность конуса.

6. Параллелограмм, у которого стороны равны 21 см и 89 см, а диагональ равна 100 см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объём тела вращения.

7. Прямоугольный треугольник с катетами 16 и 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите объём и площадь вращения.

Вариант 2

 

1. Боковая поверхность цилиндра составляет половину его полной поверхности. Найдите полную поверхность цилиндра, если диагональ осевого сечения 10 дм.

2. Полная поверхность цилиндра 500 p см2, диаметр его основания 20 см. Найдите объём цилиндра.

3. Образующая усечённого конуса относится к высоте его как 41:40. Радиусы оснований равны 24 и 6 см. Найдите боковую поверхность конуса.

4. Угол развёртки боковой поверхности конуса равен 120°. Образующая конуса 15 см. Найдите  полную поверхность конуса.

5. Найдите высоту усечённого конуса, если его боковая поверхность равновелика сумме площадей оснований, а радиусы оснований R и r.

6. Равнобедренная трапеция с основаниями 12 и 18 см и острым углом 60° вращается вокруг меньшего основания. Найдите поверхность и объём тела вращения.

7. Треугольник, у которого две стороны равные 5 см и 8 см, заключают угол 60°, вращается вокруг наибольшей стороны. Найдите поверхность и объём тела вращения.

 

Самостоятельная работа 19

 

Вариант 1

 

1. Прямоугольный треугольник с катетами 16 и 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите поверхность тела вращения.

2. Радиусы оснований шарового пояса равны 63 и 39 см, высота его равна 36 см. Найдите поверхность шарового пояса.

3. Высота правильной треугольной пирамиды h. Боковые рёбра взаимно перпендикулярны. Найдите радиус описанного шара.

4. В правильной треугольной усечённой пирамиде высота 17 см, радиусы окружностей, описанных вокруг оснований, 5 и 12 см. Найдите радиус описанного шара.

5. Квадрат со стороной равной а вращается вокруг перпендикуляра к диагонали, проведённого через её конец. Найдите поверхность полученного тела.

 

Вариант 2

 

1. Треугольник, у которого две стороны равны 5 и 8 см, заключают угол в 60°, вращается вокруг наибольшей стороны. Найдите поверхность тела вращения.

2. Полная поверхность шарового сегмента равна S. Определите высоту сегмента, если радиус шара равен R.

3. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона которого равна 3 дм. Одно из боковых рёбер равно 2 дм и перпендикулярно основанию. Найдите радиус описанного шара.

4. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды 7 и 1 дм. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 45°.Найдите радиус описанного шара.

5. Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от неё на длину апофемы. Найдите поверхность полученного тела.

 

Самостоятельная работа 20

 

Вариант 1

 

1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b и образует с плоскостью основания угол a. В пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что плоскость основания лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите объём цилиндра.

2. Основание пирамиды правильный треугольник. Одно боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания и равно l, а два других с плоскостью основания образуют угол a. В пирамиду вписана прямая призма, три вершины которой лежат на боковых рёбрах пирамиды, а три другие – на основании пирамиды, диагональ боковой грани призмы составляет с плоскостью основания Ð b. Найдите высоту призмы.

3. В правильной четырёхугольной призме площадь боковой грани равна q. Найдите площадь диагонального сечения.

4. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 и 9 см. На какие части делится объем шара?

 

Вариант 2

 

1. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2b. Длина окружности основания равна c. Определить площадь боковой поверхности конуса.

2. Диагонали осевого сечения усечённого конуса точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от большого основания. Угол между диагоналями, обращённый к основанию, равен a. Диагональ равна l. Найдите объём конуса.

3. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 см, стороны основания 6 и 8 см, одна из диагоналей основания 12 см. Найдите диагонали параллелепипеда.

4. Какую часть объёма шара составляет объём шарового сегмента с высотой 0,1 диаметра шара?

 

Вариант 3

 

1. Образующая конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом a. Определите площадь полной поверхности вписанного куба.

2. В основание конуса вписан квадрат, сторона которого a. Плоскость, проходящая через одну из сторон этого квадрата и вершину конуса, при пересечении с поверхностью конуса образует равнобедренный треугольник с углом при вершине равным a. Найдите объём конуса.

3. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы 15 см, а высота 20 см. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до непересекающей её диагонали призмы.

4. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объём общей части шаров к объёму целого шара?

 

Вариант 4

 

1. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом a, вписана прямая треугольная призма с равными ребрами. Найдите объём призмы, если радиус основания конуса равен R.

2. Объём конуса равен V. В конус вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом a между боковыми сторонами. Найдите объём пирамиды.

3. В прямом параллелепипеде боковое ребро равно 1 м, стороны основания 23 дм и 11 дм, диагонали основания относятся как 2 : 3. Найдите площади диагональных сечений.

4. По стороне основания a и боковому ребру b найдите полную поверхность правильной шестиугольной призмы.