Название: Математический анализ - Методические разработки (А.А. Шалагинов)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1236


Тема 7.  обыкновенные дифференциальные уравнения

 

Занятие 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

 

Цель – рассмотреть обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, дать понятие задачи Коши и общего решения дифференциального уравнения. Научить студентов методике определения типов уравнений: с разделяющимися переменными и однородных уравнений и методам их решения.

Указания

 Напомнить студентам  понятие обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка, ввести определение общего и частного решения, интегральной кривой, изоклин. Показать, что в некоторых случаях в процессе приведения уравнения  к уравнению с разделёнными переменными могут теряться (при делении на ) решения.

Повторить  определение однородной функции  порядка “k”  и показать на примерах, что в  случае  дифференциального  уравнения , которое называется однородным, если однородная функция степени “0”,  не будет изменяться, если переменные  заменить на соответственно. Заметим, что в случае однородного уравнения вида , где – функции одинаковой степени однородности нет необходимости выражать .

Показать, что однородные уравнения сводятся к уравнениям  с  разделяющимися переменными заменой: .

 

Задачи для выполнения в аудитории

Задачи для выполнения дома

Б: № 3901, 3907, 3934, 3917, 3914, 3910, 3939, 3943

Б: № 3941, 3945, 3904, 3909, 3915, 3918

М.А. (ч 2, гл. 10)  2, 4, 7, 10, 14, 16, 18, 24

М.А. (ч  2, гл. 10) 1, 3, 15, 19, 23

 

Занятие 2. Линейные дифференциальные уравнения и уравнения Бернулли

 

Цель – обучить студентов методике определения типов уравнений: линейных уравнений и уравнений Бернулли  и методам сведения изученных типов уравнений 1-го порядка к уравнениям с разделяющимися переменными.

 

Указания

При решении линейных дифференциальных уравнений методом Бернулли следует один раз подробно вывести формулы для нахождения в подстановке и в дальнейшем, для приведённого уравнения  выписывать  систему уравнений:

,

 

 отметив, что метод Бернулли состоит в нахождении  функции по выбранной

Показать, что уравнение  можно сводить к линейному уравнению с помощью замены либо решать методом Бернулли, не сводя к линейному.

Показать, что дифференциальное уравнение может быть линейным относительно функции , например, нелинейное относительно  уравнение    сводится к линейному относительно  уравнению  .

 

Примечание. В конце занятия рекомендуется провести самостоятельную работу на 15 минут на методы определения типов уравнений

1-го порядка и их сведение к уравнениям с разделяющимися переменными.

 

Задачи для выполнения в аудитории

Задачи для выполнения дома

Б: № 3954, 3965, 3988, 4005, 3967, 3962, 4044, 4042

Б: № 3960, 3961, 3957, 4039, 3992, 4043, 4045

М.А. (ч2, гл. 10) 27, 30, 35, 37, 42, 45, 48

М.А. (ч2, гл. 10) 26, 32, 34, 40, 46, 49

 

Занятие 3. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Самостоятельная работа по дифференциальным уравнениям первого порядка

 

(Данное занятие проводится по усмотрению преподавателя. По мнению авторов эту тему целесообразнее рассматривать при изучении криволинейных интегралов.)

Цель – научить определять тип и интегрировать дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Указания

 Дать определение уравнения в полных дифференциалах. Показать, что условием наличия уравнения в полных дифференциалах  является , которое обеспечивается равенством вторых смешанных производных искомой функции.

Показать, что искомую функцию  “u” можно находить следующим образом:  или ,  где – любые значения из области существования и единственности решения дифференциального уравнения. Решение выписывается в виде общего интеграла .

Задачи для выполнения в аудитории

Задачи для выполнения дома

Б: № 4050, 4051, 4056, 4078, 4083

Б: № 4052, 4054, 4055, 4072, 4084

М.А. (ч2, гл. 10) 50, 52, 53, 56, 61

М.А. (ч2, гл. 10) 51, 55, 57, 63

 

Занятие 4. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

 

Цель – отработать понятие дифференциального уравнения высшего порядка, обучить студентов способам понижения порядка дифференциального уравнения в некоторых частных случаях, когда уравнение имеет один из видов:

 

 

где “k”– любое натуральное число.

 

Указания

Обратить внимание студентов на то, что для уравнений высших порядков вида  либо    общим решением будет функция , зависящая от аргумента и “n” произвольных постоянных.

Показать, что в случае дифференциального уравнения,  не содержащего в явном виде неизвестной функции,  понижение  порядка уравнения достигается заменой  , а для уравнения, не содержащего в явном виде независимой переменно, – заменой , не зависимо от того, входит в уравнение или нет.

В случае, если в уравнение    функция F  является однородной относительно функции  “” и её производных , то введением новой переменной  получим уравнение

,

 

имеющее порядок  на единицу  меньше исходного,  при этом

и т.д.

 

Показать, что при наличии начальных условий отыскание значений произвольных постоянных удобно проводить после каждого интегрирования.

 

 

Задачи для выполнения в аудитории

Задачи для выполнения дома

Б: № 4156, 4162, 4193, 4165, 4197

Б: № 4157, 4160, 4163, 4185, 4195, 4199

М.А. (ч 2, гл. 10) 106, 108, 110, 116, 118

М.А. (ч 2, гл. 10) 103, 109, 111, 117, 120

 

Занятие 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения

 

Цель – изучить понятие линейного однородного дифференциального уравнения

( “ЛОДУ– n” ), обучить методу решения  уравнений второго порядка с переменными коэффициентами с использованием формулы Лиувилля и “ЛОДУ– n” с постоянными коэффициентами с помощью характеристического уравнения.

Указания

Показать с помощью определителя Вронского линейную независимость следующих  систем функций:

 

, где все  вещественные и различные;

;

.

 

2. Обратить внимание студентов, что теорема о структуре общего решения позволяет выписать общее решение “ЛОДУ–n” при наличии “n” линейно  независимых решений данного уравнения.

 

Задачи для выполнения в аудитории

Задачи для выполнения дома

Б: № 4233, 4235, 4238, 4251, 4254, 4257, 4259, 4262, 4301, 4305, 4304, 4310

Б: № 4234, 4239, 4252, 4256, 4263, 4229, 4304, 4306, 4309

М.А. (ч  2, гл. 10) 128, 137, 151, 166, 170, 184

М.А. (ч 2, гл. 10) 132, 138, 152, 168, 171, 175, 179, 183

 

 

Занятие 6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами  (ЛНДУ). Метод вариации произвольных постоянных

 

Цель – научить решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, отработать теорему о структуре общего решения  “ЛНДУ–n” линейного неоднородного дифференциального уравнения, обучить методам нахождения частного решения с помощью вариации произвольных постоянных.

Указания

Показать, что существуют два равносильных подхода к получению общего решения “ЛНДУ–n”:

после нахождения фундаментальной системы решений соответствующего “ЛОДУ–n” общее решение неоднородного уравнения ищется в виде линейной комбинации данных решений с переменными коэффициентами , и в этом случае при определении берётся совокупность первообразных;

при определении может браться одна из первообразных для  и тогда комбинация решений “ЛОДУ–n” даёт частное решение неоднородного уравнения и для получения общего решения к нему необходимо добавить общее решение “ЛОДУ–n”.

 

Задачи для выполнения в аудитории

Задачи для выполнения дома

Б: № 4280, 4321, 4275(2), 4275(3), 4268, 4282(2)

Б: № 4281, 4282(1,3)

М.А. (ч 2, гл. 10) 185, 186, 190, 156, 159

М.А. (ч 2, гл. 10) 187, 189, 192, 155, 160

 

Примечание. Задачи, номера которых выделены курсивом, относятся к уравнениям с переменными коэффициентами. По необходимости  занятия 5 и 6 можно объединять в одно.

 

Занятие 7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой часть специального вида

 

Цель – обучить методу подбора частного решения “ЛНДУ–n”   по  правой части специального вида.

Указания:

Обратить внимание студентов на тот факт, что метод нахождения частного решения с помощью вариации произвольной постоянной является более общим методом и работает и в данном случае, так как правая часть специального вида есть частный случай правой части общего вида.

Полезно выделить два возможных вида специальных правых частей: , где  – многочлен степени “k” ,

, где – многочлены степеней  “k” и “l” соответственно, .

 Это позволит разделить случаи действительных и комплексных корней  характеристического многочлена для соответствующего однородного уравнения.

Если правая часть представляет собой сумму правых частей специального вида, то частное решение уравнения есть сумма частных решений уравнений  с соответствующими правыми частями.

Полезно потренировать студентов выписывать виды частных решений для различных правых частей без нахождения конкретных числовых значений коэффициентов.

 

Задачи для выполнения в аудитории

Задачи для выполнения дома

Б: № 4275(2,4,5), 4276(4), 4277(7), 4276(1,2), 4278(4,5), 4279(1,2,3)

Б: № 4275(8), 4278(1,8), 4277(8), 4283

М.А. (ч 2, гл. 10) 195, 198, 199, 200, 205, 211, 218, 224, 227, 242

М.А. (ч 2, гл. 10) 196, 201, 207, 221, 226, 230, 238, 244

 

Примечание: в задачах, номера которых  выделены  курсивом, необходимо только записать вид частного решения, не находя неопределённых коэффициентов.

 

Занятие 8. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с простым спектром характеристических  чисел

 

Цель – научить находить общее и частное решения систем уравнений с помощью матричного метода, а также обучить способам решения систем уравнений путём сведения системы к одному уравнению более высокого порядка.

Указания

 Напомнить определение собственного вектора и собственного числа линейного преобразования и сформулировать утверждение о линейной независимости системы собственных векторов в случае  простого спектра. Пояснить, что если

– собственное число линейного преобразования, имеющего в некотором базисе матрицу , то ранг матрицы  меньше её размерности, 

 В случае системы 3-го порядка полезно использовать следующую формулу для нахождения характеристического многочлена:– (сумма главных миноров А второго порядка)  где след А – это сумма элементов главной диагонали, а главные миноры– это миноры, содержащие элементы главной диагонали матрицы А.

3. На практике метод сведения системы к уравнению более высокого порядка мало эффективен в случае размерности системы выше трёх, так как связан с большим количеством  алгебраических преобразований.

 

Задачи для выполнения в аудитории

Задачи для выполнения дома

Б: №  4324(2, 4, 6)

Б: № 4324(3, 5), 4338

М.А. (ч 2, гл. 10) 296, 298, 304, 306

М.А. (ч 2, гл. 10) 297, 299, 302