Название: Математический анализ - Методические разработки (А.А. Шалагинов)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1236


Тема 6: определённый интеграл. несобственные интегралы. приложения определённого интеграла

 

Занятие 1. Вычисление определённых интегралов

 

Цель – научить вычислять определённые интегралы по формуле Ньютона–Лейбница и применять эту формулу при интегрировании по частям и замене переменной в определённом интеграле.

Указание

При нахождении  неопределённого интеграла студенты, как правило, не уделяют внимания изменению области значений подынтегральной функции при проводимых над ней преобразованиях, что часто приводит к ошибкам в вычислении определённого интеграла. Проиллюстрируем одну из характерных ошибок на следующем примере:

Пример.

 

 

=(Если  при извлечении корня   опускается модуль, то в данных пределах интегрирования меняется область значений подынтегральной функции)

 

Задачи для выполнения в аудитории

Задачи для выполнения дома

Б: № 2233, 2237, 2251, 2259, 2264, 2277, 2284, 2285

Б: № 2236, 2244, 2250, 2261, 2263, 2280, 2286, 2290

М.А. (ч 1, гл. 7): 9, 12, 15, 20, 27, 30, 32, 40, 42, 44, 48, 51, 53

М.А. (ч 1, гл. 7): 10, 14, 17, 21, 28, 34, 41, 43, 46, 49, 52, 55

 

Занятие 2. Несобственные интегралы

 

Цель – научить вычислять несобственные интегралы 1–го и 2–го рода и исследовать их на сходимость.

Указания

Если функция интегрируема на каждом конечном отрезке , то согласно определению , и интеграл расходится, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части равенства.

Если  не ограничена в окрестности точки с  и интегрируема на каждом отрезке , , то , и интеграл расходится, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части равенства.

Определения, данные в пунктах 1), 2) следует отличать от главного значения несобственного интеграла в смысле Коши, а именно

 при перечисленных выше предположениях о функции .

Эффективным признаком сходимости несобственных интегралов является признак сравнения в предельной форме. Следует научить студентов использовать для сравнения “эталонные” интегралы вида   и  , .

 

Задачи для выполнения в аудитории

Задачи для выполнения дома

Б: № 2366, 2370, 2388, 2391, 2395, 2396, 2406, 2413, 2415

Б: № 2369, 2377, 2386, 2389, 2398, 2407, 2414, 2417

М.А. (ч1, гл.7): 61, 62, 58, 60, 69, 71, 73, 74

М.А. (ч1, гл.7): 63, 65, 67, 57, 61, 72, 76, 75

 

Занятие 3. Вычисление площадей плоских фигур

 

Цель – научить вычислять площади фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовой и полярной системе координат и в параметрической форме.

Указание

Наибольшее количество затруднений вызывает у студентов вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме.

С целью иллюстрации связи вычисления площади в декартовой системе координат со случаем параметрического задания границы области рассмотрим следующую задачу.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

 

.

Подпись:  В декартовой системе координат уравнения линий, образующих границу фигуры, имеют вид:

 .

 

В силу симметрии фигуры относительно оси  “OY”, пределы изменения параметра t достаточно определить только для вычисления площади . Определим значение параметра, соответствующее координатам точки В: . Координатам точки А соответствует значение параметра  как видно из уравнений параметрического задания эллипса. Следовательно,

Задачи для выполнения в аудитории

Задачи для выполнения дома

Б: № 2455, 2473, 2494(1), 2508, задача типа ТР 3, № 13 (вариант 25), № 12 (вариант 26)

Б: № 2467, 2474, 2494(2), 2496

М.А. (ч 1, гл. 8): 1, 3, 6, 7, 12

М.А. (ч 1, гл. 8): 2, 4, 5, 8, 9, 10

Занятие 4. Вычисление объёмов тел

 

Цель – научить вычислять объём тела по площади поперечного сечения и объём тела вращения.

 

Задачи для выполнения в аудитории

Задачи для выполнения дома

Б: № 2580, 2586, 2555, 2564

Б: № 2585, 2556, 2561

М.А. (ч 1, гл. 8): 24, 26, 29, 31

М.А. (ч 1, гл. 8): 25, 28, 32, 33

 

Занятие 5. Вычисление длины дуги плоской кривой и площади поверхности тела вращения

 

Цель – научить вычислять длину дуги кривой и площадь поверхности тела вращения при различных способах задания уравнения линии.

 

Задачи для выполнения в аудитории

Задачи для выполнения дома

Б: № 2524, 2531, 2546, 2595, 2603, 2605

Б: № 2525, 2538, 2546, 2598, 2606

М.А. (ч 1, гл. 8): 13, 14, 15, 21, 36, 39, 42, 43

М.А. (ч 1, гл. 8): 16, 17, 18, 19, 37, 44, 45