Название: Физика твердого тела - Методическое руководство (А.Н. Поддымников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1072


4. концентрация электронов и дырок в полупроводниках

 

Подпись:  							 а		       б			 в
   Рис.12							Рис.13
Для анализа поведения полупроводников обычно пользуются двухзонной моделью (рис.12). В литературе часто вместо закона дисперсии приводят соответствующие ему энергетические диаграммы (рис.13) собственного полупроводника (а), примесного n-типа (б), примесного p-типа (в), где ∆εA – энергия активации примеси.

Заполненная зона от    до  называется валентной. Зона от  до  называется зоной проводимости. Обычно различают собственные и примесные полупроводники. Собственным полупроводником называют абсолютно чистый полупроводник, зонная структура которого показана на рис.12 и на энергетической диаграмме рис.13а. Наличие примесей приводит к появлению дополнительных уровней энергии для электронов. Полупроводники, у которых примесный уровень лежит в запрещенной зоне вблизи дна зоны проводимости (рис.13б), называют донорным. Те, у которых примесный уровень лежит  вблизи потолка валентной зоны (рис.13в), называют акцепторными. Например, для четырехвалентного германия донорной примесью будут атомы пятивалентных элементов (мышьяк, фосфор), а акцепторной примесью – атомы трехвалентных элементов (индий, бор).

В силу того, что примесь в кристалле распределятся случайно, примесные состояния не образуют зону, т.е. электроны этих состояний не могут двигаться в кристалле, оставаясь связанными с примесными атомами. Однако если электроны донорных уровней перейдут в зону проводимости, например, при фотоэффекте или при термическом возбуждении, они будут участвовать в переносе заряда так, как это описано в п.2.

Переход электронов на акцепторный уровень из валентной зоны приводит к появлению в валентной зоне дырок, которые также могут участвовать в переносе заряда.

Для таких полупроводников, как германий и кремний, с достаточно хорошей точностью выполнятся условия:  ∆ε >>кbТ,  ε‘с-εс >>кbТ,  εv-ε‘v>>кbТ для широкого интервала температур (заметим, что кbТ=1эВ, где кb – постоянная Больцмана, соответствует Т11000К). Благодаря этому количество термически возбужденных электронов и дырок будет мало по сравнению с числом состояний в соответствующей зоне, т.е. электроны и дырки будут находиться вблизи экстремальных точек εv и εс (см. рис.12). Вблизи этих точек закон дисперсии можно представить квадратичными параболами ε = εс+ - для зоны проводимости, ε = εс+ - для валентной зоны, где me и mp – эффективные массы электронов и дырок соответственно. Это обстоятельство позволяет считать электроны и дырки свободными частицами в соответствующих зонах и определить плотности состояний в зонах как для свободных частиц:

 - плотность состояний электронов;

 - плотность состояний дырок (для единичного объема полупроводника).

Среднее число электронов в квантовом состоянии описывается распределением Ферми:

,                                             (9)

где εF – химический потенциал, или энергия Ферми электронов. Очевидно, что среднее число дырок определится как

1-.                                         (10)

Тогда концентрация электронов и дырок определяется следующими выражениями:

,                          ,           (11)

где цифра 2 учитывает краткость вырождения состояний за счет спина электрона. Заметим, что для электронов и дырок среднее число частиц в квантовом состоянии совпадает с вероятностью заполнения этих состояний.

При условии, что ε‘с-εс >>кbТ и εv-ε‘v>>кbТ, εс-εF >>кbТ и εF-εv >>кbТ в распределениях (9), (10) можно пренебречь единицей. Это означает, что электроны и дырки при этих условиях описываются квазиклассическим распределением. Подставляя   и  1-в интегралы (11) и после введения новых переменных и интегралы (11) вычисляются довольно просто. В результате получаем

,    .      (12)

Для вычисления концентраций в последних выражениях не достает зависимости энергии Ферми от температуры.

Для собственных полупроводников n=p (условие электронейтральности) и тогда

;                                        (13)

n2=p2=np и тогда n=p=.                     (14)

Как видно из последних формул, в собственных полупроводниках уровень Ферми лежит в середине запрещенной зоны при Т=0 и с ростом температуры движется в сторону зоны с меньшей эффективной массой. Например, если mе<mp, плотность состояний в зоне проводимости меньше, чем в валентной зоне, так как ρ~. Для выполнения условия me=p необходимо увеличить вероятность заполнения уровней электронами в зоне проводимости и уменьшить вероятность заполнения состояний дырками в валентной зоне. Эта ситуация реализуется при смещении уровня Ферми в сторону зоны проводимости, т.е. в сторону меньшей эффективной массы.

Более сложная ситуация в примесных полупроводниках. Однако и в них положение уровня Ферми находится из условия электронейтральности: , где  - концентрация ионизованной донорной примеси; ;  - концентрация акцепторной примеси.

Рассмотрим, например, донорный полупроводник (n - типа). Для него Na=0. При абсолютном нуле уровень Ферми лежит между примесным уровнем и дном зоны проводимости. В этой области температур p<<n и . При дальнейшем росте температуры достигается такое состояние, когда  и увеличение концентрации электронов в зоне проводимости происходит за счет переходов электронов из валентной зоны. Естественно, что можно повысить температуру до такой величины, что будет выполняться условие , т.е. полупроводник станет собственным.