Название: физические основы преобразования энрегии - Учебное пособие (И.Л. Кескевич)

Жанр: Технические

Просмотров: 1187


1.1.1.   метод теплового баланса в интегральной форме

При решении практических задач расчета нестационарных режимов, связанных с наличием внутренних источников теплоты, широко используется метод теплового баланса в интегральной форме. В его основе лежит закон сохранения энергии в приложении к процессам теплопередачи. В инженерной практике при расчете теплового нестационарного состояния элементов электротехнического оборудования часто не требуется знание температурного поля по их сечению в силу малости температурных градиентов и применяется тепловая модель нагрева однородного тела или однородного линейного токоведущего проводника.

А. Нагрев (охлаждение) однородного тела

Анализ динамических тепловых режимов работы электрической машины или какой-нибудь ее части (статора, якоря и т.п.) можно провести на примере нагрева или охлаждения однородного тела с постоянной по объему температурой при следующих допущениях:

– мощность тепловыделений Pa в электрической машине постоянна, не зависит от температуры и времени;

– коэффициенты теплоотдачи конвекцией aк и излучением aи постоянны;

– температурный градиент в теле машины равен нулю;

– удельная теплоемкость с постоянна.

Нестационарное уравнение теплового баланса в интегральной форме для однородного тела можно записать в виде

            , (1.1)

где dU=cm×dt – изменение внутренней энергии тела, Дж; c и m – удельная теплоемкость и масса тела, Дж/(кг×°С) и кг; dt – приращение температуры, °С; dP=Padt – количество теплоты, выделяемое в объеме тела за счет внутренних источников за время dt, Дж; dQ = aS×(t – tж)F× d – количество теплоты, отдаваемое с поверхности тела конвекцией за время d, Дж; aS = aк + aи – суммарный коэффициент теплоотдачи конвекцией и излучением [1, 2], Вт/(м2×°С); F – площадь поверхности тела, м2; t и tж – текущая температура тела и температура окружающей среды, °С.

Уравнение (1.1) после подстановки входящих в него параметров имеет следующий вид:

            , (1.2)

где v= t – tж – превышение температуры тела  t над температурой окружающей среды tж, °С;  – постоянная времени нестационарного теплового режима, с;  – установившееся превышение температуры тела, °С.

Решение уравнения (1.2) имеет следующий вид:

                        (1.3)

где vн=tн – tж – начальное превышение температуры тела, °С.

Характер изменения температуры при нагреве показан на рис. 1.1, а, где зависимость 1 получена при vн = 0, а зависимость

2 – при vн ¹ 0.

                                а                                                                          б

Рис. 1.1. Процессы нагрева (а) и охлаждения (б) электрической машины

Согласно свойству экспоненты для произвольных точек (a или b) проекция касательной на линию v = v¥ равна постоянной времени T*. Установившееся тепловое состояние достигается за время (3…5)T* после начала нагрева¬.

Процесс охлаждения однородного тела показан на рис. 1.1, б. Он получается из выражения (1.3) при v¥ = 0 или v¥ < 0. Зависимость (1.3) удобна для качественного анализа нестационарных режимов работы электрической машины.

Б. Нагрев однородного линейного одиночного

токоведущего проводника

Нестационарные тепловые режимы многих токоведущих элементов электротехнического оборудования (шин, трубошин и т.п.) можно привести к модели нагрева или охлаждения однородного линейного токоведущего проводника при следующих допущениях:

– в токоведущем проводнике протекает постоянный по величине ток I;

– распределение плотности переменного тока по сечению проводника неравномерно; влияние поверхностного эффекта на активное его сопротивление учитывается коэффициентом добавочных электрических потерь Кд.п (см. рис. 1.2, где R – наружный радиус токоведущего элемента, м;  – глубина проникновения электромагнитной волны в токоведущий элемент, м; mr – относительная магнитная проницаемость материала токоведущего элемента; f – частота тока, Гц);

– коэффициенты теплоотдачи конвекцией aк и излучением aи постоянны;

– температурный градиент по сечению проводника равен нулю;

– удельная теплоемкость материала проводника с постоянна;

– удельное электросопротивление токоведущего проводника зависит от температуры линейно: r = r0×(1+aрt).

Нестационарное уравнение теплового баланса (1.1), составленное для одного метра длины однородного линейного токоведущего проводника, можно записать в виде

            ,        (1.4)

где g – плотность металла проводника, кг/м3; S – поперечное сечение проводника, м2; П – периметр поперечного сечения токоведущего проводника, м.

 

Рис. 1.2. Коэффициент добавочных электрических

потерь

                                                – ферромагнитный;                 – немагнитный проводники

Решение уравнения (1.4) имеет вид

            , (1.5)

где ;  – установившееся значение температуры, °С.

Так как решение (1.5) получено при aS и с постоянных, то для того, чтобы учесть их зависимость от температуры, необходимо воспользоваться одним из итерационных методов (например, последовательных приближений). Задавшись температурой токоведущего проводника t, сначала определяем с и aS по справочной литературе [1, 2, 3]. Затем рассчитываем t'. Если , то t = t' и расчет повторяется, пока не будет выполняться неравенство .

В зависимости от соотношения между величинами [формула (1.5)]  и  могут осуществляться следующие процессы нагрева токоведущего элемента при одинаковых начальных условиях (t = 0, t = tн):

а) при  >  нагрев происходит по кривой 3 (рис 1.3), асимптотически приближаясь к установившейся температуре t¥;

б) при  =  выражение (1.5) преобразуется к виду

,

т.е. в уравнение прямой 2 (рис. 1.3);

в) при  <  температура изменяется по кривой 1 (рис 1.3); такое изменение температуры возможно при покрытии токоведущего элемента хорошей тепловой изоляцией (или высоких удельных мощностях, выделяемых в нем, и свободном теплообмене с окружающей средой); этот режим может реализовываться в электронагревательных электроконтактных установках.

В. Нестационарные режимы работы электротехнического

и электротехнологического оборудования

При внезапном изменении нагрузки (увеличении или уменьшении), т.е. мощности внутренних источников, выделяемой в токоведущих элементах, происходит нарастание (или понижение) его температуры.

В зависимости от характера изменения нагрузки (циклическое или одиночное изменение) различают следующие режимы работы электротехнического и электротехнологического оборудования: повторно-кратковременные режимы и режимы короткого замыкания. Повторно-кратковременные режимы являются эксплуатационными в таких случаях, как работа двигателей прокатных станов, работа катушек реле коммутирующих аппаратов, режим позиционного регулирования температуры в электротехнологических установках и т.п.

Нагрев токоведущих элементов токами короткого замыкания в ряде оборудования (например, электрических аппаратах) является, как правило, аварийным, и поэтому время его действия ограничивается до минимально возможного. В другом оборудовании (например, элементах токоподвода дуговых сталеплавильных печей) режим короткого замыкания является эксплуатационным. В периоды расплавления шихты он может чередоваться с режимом холостого хода. С точки зрения изменения режима с короткого замыкания до холостого хода работа оборудования дуговой сталеплавильной печи похожа на повторно-кратковременные режимы электротехнического оборудования с некоторым среднестатистическим периодом изменения нагрузки.

1) Повторно-кратковременный режим

При повторно-кратковременном режиме происходит периодическое включение и отключение нагрузки. За время перерыва тока tо токоведущий элемент не успевает охладиться до температуры окружающей среды, а за время прохождения тока tв его температура не успевает достичь установившегося значения (рис. 1.4, кривая 4).

За время tв, в течение кото-рого по токоведущему элементу протекает ток I, этот элемент

нагревается до температуры t1 (при условии, что в момент включения его температура была равна температуре окружающей среды, т.е. tн = tж)

.

За время отключенного состояния tо токоведущий элемент охлаждается до температуры

.

Через некоторое время устанавливается максимальная tмакс и минимальная tмин температуры токоведущего элемента (рис. 1.4).

При анализе повторно-кратковременного режима работы элементов электрических аппаратов удобно пользоваться понятием превышения температуры данного элемента над температурой среды v = t – tж.

Поскольку мощности, отдаваемые в окружающее пространство, и превышение температур при установившемся и квазистационарном режимах нагрева связаны линейной зависимостью Ньютона, при всех прочих равных условиях (равенство коэффициентов теплоотдачи и площадей охлаждающих поверхностей)

                 (1.6)

Величина

                    (1.7)

носит название коэффициента перегрузки по мощности и показывает, во сколько раз можно увеличить мощность источников теплоты в электрическом аппарате при повторно-кратковременном режиме работы по сравнению с мощностью при длительном режиме при условии равенства допустимых температур в том и другом случаях.

Из (1.6) и (1.7) следует, что

            .         (1.8)

Поскольку при прочих равных условиях мощность источников теплоты в большинстве случаев пропорциональна квадрату тока (закон Джоуля–Ленца), вводят понятие коэффициента перегрузки по току:

            .       (1.9)

Если время паузы t0 ³ 5T*, то tв + t0 ³ 5T* и . Тогда

            .   (1.10)

В этом случае

            ;        (1.11)

            ,        (1.12)

т.е. во время паузы температура аппарата достигает температуры окружающей среды. Такой режим работы, как было определено выше, носит название кратковременного.

Если tв + t0 £ 0,1T*, то и tв £ 0,1T*. В этом случае с погрешностью, не превышающей 5 \%, можно считать

                       (1.13)

Тогда

            .           (1.14)

Величина

            (1.15)

называется относительной продолжительностью включения. Тогда

            .   (1.16)

2) Режим короткого замыкания

Режим короткого замыкания – это такой режим, при котором токоведущие элементы подвергаются значительным термическим воздействиям. Как правило, это аварийный режим работы и поэтому время его действия ограничивается до минимально возможного. Режим короткого замыкания – это кратковременный режим работы, но при нем температура токоведущего элемента может достигать значений, превосходящих допустимую температуру в длительном режиме. Для большинства элементов электротехнического и электротехнологического оборудования время короткого замыкания удовлетворяет условию tкз £ 0,1×Т*, где

Т* – постоянная времени нагрева токоведущего элемента. Это условие соответствует времени адиабатического нагрева, когда теплоотдачей с поверхности токоведущего элемента можно пренебречь.

Тогда уравнение теплового баланса токоведущего элемента можно записать как

            ,        (1.17)

где  – плотность тока в токоведущем элементе, А/м2;  – зависимость удельной теплоемкости материала токоведущего элемента от температуры t, Дж/кг×К.

При интегрировании уравнения (1.17) по времени в пределах от 0 до tкз и по температуре от начальной tн до t принимаем допущения: плотность тока j за время нагрева постоянна и начальная температура tн = 0. Тогда решение уравнения (1.17) примет вид

            .       (1.18)

Это уравнение является нелинейным и представляет собой зависимость . Решить его относительно температуры t можно одним из численных методов [4].

1.1.2.   Метод теплового баланса в дифференциальной форме.

Если нужно рассчитать температурное поле в нагреваемом или охлаждаемом теле, то используют дифференциальную форму уравнения теплового баланса, т.е. дифференциальное уравнение теплопроводности [1]

            ,       (1.19)

где qn – удельная объемная мощность тепловыделения, Вт/м3.

Для расчета температурного поля к уравнению (1.19) необходимо добавить соответствующие начальные и граничные условия, а также для получения аналитического решения ввести ряд допущений и ограничений [1].

Многие инженерные задачи с достаточной степенью точности можно решать, полагая физические параметры постоянными и равными их среднему значению на температурном интервале нагрева (или охлаждения). В этом случае уравнение (1.19) преобразовывается к виду

            ,          (1.20)

где  – коэффициент температуропроводности материала нагреваемого тела, м2/с;  – оператор Лапласа от температуры.

Общность результатов решения уравнения (1.20) расширяется, если оно представлено в безразмерном виде

            ,         (1.21)

где  – относительная температура нагреваемого (охлаждаемого) тела, tн – температура тела в начальный момент времени, °С; tж – температура среды, °С;  – критерий Фурье (безразмерное время);  – характерный базовый размер тела, м;  – критерий Померанцева.

Начальные условия в безразмерном виде записываются как

            Q = 0 при Fо = 0.      (1.22)

Граничные условия в безразмерном виде можно записать следующим образом.

Граничные условия первого рода

или в частном случае

            Qс = const,      (1.23)

где , tc – температура поверхности.

Граничные условия второго рода

            ,  (1.24)

где  – производная относительной температуры по безразмерному вектору нормали  к поверхности тела; ;  – критерий Кирпичева, qс – плотность потока тепла на поверхности тела, Вт/м2.

Граничные условия третьего рода

            ,         (1.25)

где  – критерий Био; с – индекс, обозначающий условия теплообмена на поверхности тела.

Многие инженерные задачи могут быть решены с достаточной точностью в одномерной постановке.

А. Граничные условия третьего рода.

Неограниченная пластина

В плоской пластине, равномерно охлаждаемой с обеих сторон, протекает постоянный ток (т.е. qv = const и Po = const). При постоянном коэффициенте теплопроводности задана температура окружающей среды tж1 = tж2 = tж и коэффициент теплоотдачи aS1 = aS2 = aS.

Тогда одномерное температурное поле в пластине толщиной 2d определится по формуле

                     (1.26)

где  – Критерий Померанцева;  – критерий Фурье;  – относительная координата; , n = 1, 2, …; mn – корень характеристического уравнения . Значения параметров mn и mn2 приведены в приложении (табл. П1.1).

Температуру на поверхности пластины можно определить по формуле (1.26) при x = d, т.е. x = 1:

.

Температуру в центре пластины можно определить по формуле (1.26) при x = 0, т.е. x = 0:

.

Неограниченный цилиндр

Неограниченный цилиндр радиусом R равномерно охлаждается с наружной поверхности. В нем протекает неизменный ток (т.е. qv = сonst, Po = сonst). Коэффициент теплопроводности цилиндра l = сonst, коэффициент теплоотдачи к окружающей среде aж, температура окружающей среды tж.

Тогда одномерное температурное поле в неограниченном цилиндре диаметром 2R определяется по формуле

                     (1.27)

где  – критерий Померанцева; ; r – текущий радиус в теле цилиндра; mn – корень характеристического уравнения

;

J0 и J1 – функции Бесселя первого рода нулевого (J0) и первого (J1) порядка; , n = 1, 2, … Значения параметров mn и mn2 приведены в приложении (табл. П1.2).

Температуру на поверхности цилиндра можно определить по формуле (1.27) при r = R т.е. xr = 1:

.

Температуру в центре цилиндра можно определить по формуле (1.27) при r= R т.е. xr = 0:

Б. Граничные условия второго рода

Неограниченная пластина

Плоская пластина равномерно охлаждается с обеих сторон. По пластине протекает неизменный ток (т.е. qv = сonst, Pо = сonst). Пластина отдает с поверхности постоянное количество тепла в единицу времени (т.е. плотность теплового потока с поверхности qс = сonst).

Тогда одномерное температурное поле в пластине толщиной 2d определяется по формуле

                (1.28)

где  – критерий Померанцева;  – критерий Кирпичева; ; n = 1, 2, …

Температуру на поверхности пластины можно определить по формуле (1.28) при x = d, т.е. x = 1:

.

Температуру в центре пластины можно определить по формуле (1.28) при x = 0, т.е. x = 0

.

Неограниченный цилиндр

Неограниченный цилиндр радиусом R равномерно охлаждается с наружной поверхности. В нем протекает неизменный ток (т.е. qv = const, P0 = сonst). Коэффициент теплопроводности цилиндра l = const. Цилиндр отдает с поверхности постоянное количество тепла в единицу времени (т.е. плотность теплового потока с поверхности цилиндра qс = const).

Тогда одномерное температурное поле в цилиндре диаметром 2R определяется по формуле

              (1.29)

где  – критерий Померанцева;  – критерий Кирпичева;  – корень характеристического уравнения .

Температуру на поверхности цилиндра можно определить по формуле (1.29) при r = R, т.е. xr = 1:

.

Температуру в центре цилиндра можно определить по формуле (1.29) при r= R, т.е. xr = 0: