Название: физические основы преобразования энрегии - Учебное пособие (И.Л. Кескевич)

Жанр: Технические

Просмотров: 1000


1.3.     упражнения и задачи

1-1. Получить уравнение кривой нагрева круглого медного проводника диаметром d = 10 мм, по которому протекает постоянный ток I = 400 А. Известно, что средний коэффициент теплоотдачи с поверхности проводника aS = 10 Вт/(м2×град), температура окружающей среды, которой является спокойный воздух,

tж = 35 °С, а средняя величина удельного сопротивления меди

r = 1,75×10-8 Ом×м. Начальная температура проводника tн = tж.

Решение.

Уравнение кривой нагрева в простейшем случае имеет вид (1.5)

.

Расчет t¥ и Т* произведем на единицу длины проводника

 = 1 м, поэтому, так как aр = 0 и Кд.п = 1, то

.

Постоянная времени нагрева при плотности меди g = 8700 кг/м3

,

где с = 390 Дж/кг×К – удельная теплоемкость меди; m = gV – масса стержня длиной в 1 м; g – плотность меди; V – объем проводника; F – площадь охлаждающей поверхности; S – площадь поперечного сечения проводника.

Таким образом, уравнение кривой нагрева

.

1-2. Получить уравнение кривой нагрева медного круглого проводника d = 40 мм с учетом изменения удельного сопротивления его от температуры, если в момент времени t = 0 он нагружается током I = 2250 А. Проводник расположен в спокойном воздухе, температура которого tж = 35 °С, а коэффициент теплоотдачи с наружной поверхности aS = 16 Вт/(м2×град).

Ответ: уравнение кривой нагрева

.

1-3. Определить допустимое время протекания тока I = 500 А в медной шине с размерами поперечного сечения 100´6 мм2, если известно, что шина не изолирована, находится в спокойном воздухе, температура которого tж = 35 °С, коэффициент теплоотдачи с наружной поверхности шины aS = 15 Вт/(м2×град), а начальная температура шины vн = 80 °С. Допустимая температура при кратковременном нагревании медных неизолированных шин tн = 250°С.

Ответ: tд = 187 с.

1-4. Определить допустимое число включений в час катушки постоянного тока в повторно-кратковременном режиме нагрева, если время включенного состояния катушки tв = 150 с и по ней протекает ток Inк = 12 А. Катушка цилиндрическая, намотана круглым медным проводом диаметром d = 2 мм, ее внутренний диаметр Dвн = 70 мм, наружный Dнар = 140 мм, высота катушки H = 70 мм. Число витков катушки N = 500. Катушка находится в спокойном воздухе, температура которого tж = 35 °С. С наружных поверхностей катушки коэффициент теплоотдачи aS = 20 Вт/(м2×град). Изоляция провода – хлопчатобумажная без пропитки.

Решение.

Длительно допустимое значение тока определится из равенства

,

где ; .

Для хлопчатобумажной изоляции tд = 90 °С. Подставляя числовые значения и производя вычисления, получаем Iд = 8 А. Тогда коэффициент перегрузки по току KI = Inк/Iд = 12/8 = 1,5; коэффициент перегрузки по мощности .

Постоянную времени нагрева катушки определим исходя из предположения, что способностью воспринимать тепло обладают только ее токопроводящие элементы:

,

где с, g – соответственно удельная теплоемкость и плотность меди.

Тогда из равенства

найдем время одного цикла:

tц = tв + t0 = 372 с.

Допустимое число включений катушки в час n = 3600/tц = = 3600/372 = 9,7. Округляя в сторону уменьшения, получаем nдоп = 9.

1-5. Определить допустимое число включений электромагнита постоянного тока, который имеет цилиндрическую катушку, намотанную круглым медным проводом диаметром d = 4 мм. Катушка имеет N = 250 витков, ее наружный диаметр Dнар = 160 мм, внутренний Dвн = 100 мм, высота H = 170 мм; питается она выпрямленным током, нарастающим по закону, приведенному на рис. 1.5.

 

t, мс

 

 

 

 

 

Рис. 1.5. Закон изменения тока в катушке электромагнита

Электромагнит включается в момент времени t1 = 25 мс, а выключается автоматически в момент времени t2 = t1 + 75 мс. Длительно допустимая температура нагрева катушки, витки которой имеют хлопчатобумажную изоляцию, tд = 90 °С. Катушка находится в спокойном воздухе, температура которого tж = 35 °С, коэффициент теплоотдачи с поверхности катушки aS =

= 10 Вт/(м2×град). В теплоотдаче принимают участие наружная боковая поверхность и торцы катушки. Внутренняя поверхность катушки теплоизолирована.

Решение.

Определим эквивалентный по теплу ток:

,

где tв = t2 = 100 мс – время рабочего периода; ip – мгновенное значение тока.

Если в пределах от 0 до = 22 мс кривую тока представить в виде ip1 = 2t, а от  до t2 = 100 мс в виде ip2 = 44 + 4sinwt, где

w = 2pf, f = 50 Гц, то

.

Длительно допустимую величину тока через катушку определим из равенства

где

Подставив численные значения, получим Iд = 22 А. Коэффициент перегрузки по току

.

Очевидно, tв + t0 << T* и, следовательно, справедливо соотношение

,

откуда

.

Таким образом, число допустимых включений в час n = = 3600/0,316 = 11400.

1-6. Найти конечную температуру t медного круглого проводника диаметром d = 20 мм, который в течение 1,5 с нагружается током I = 32000 А, если в начальный момент времени проводник находился в спокойном воздухе при температуре tн = 0 °С, а коэффициент теплоотдачи с его поверхности aS = 17 Вт/(м2×град).

Ответ: t = 80 °С.

1-7. Решить предыдущую задачу при условии, что в начальный момент времени проводник был нагрет до температуры

tн = 80 °С, а все остальные данные остались без изменения.

Для температуры tн = 80°С квадратичный импульс тока (по кривой адиабатного нагрева для меди [5]) [j2t]н = 1,56×1016 А2×с/м4. Следовательно, конечный импульс

[j2t]к = [j2t]н + [j2t] = 1,56×1016 =

= 3.12×1016 А2×с/м4.

Ответ: t = 200 °С.

1-8. Электрический утюг, тепловая схема которого показана на

рис 1.6, находится в вертикальном положении в спокойном воздухе. Утюг имеет высоту H, толщину подошвы b и площадь теплоотдающей поверхности F. Плотность и удельная теплоемкость материала подошвы равны g и с. Регулируемая температура утюга t*. Пределы регулирования температуры t + Dt1 и t + Dt2. Мощность утюга Ра. Температура окружающей среды tж.

Вывести выражения для расчета времени нагрева tв и времени охлаждения t0. Построить графики повторно-кратковременного режима работы утюга для различных вариантов исходных данных, представленных в табл. 1.1 и 1.2.

                                           Таблица 1.1.

Свойства материалов подошвы утюга

Материал подошвы

Плотность,

кг/м3

Удельная теплоемкость, Дж/(кг×°С)

Сталь

7800

490

Чугун

7220

500

Медь

8800

390

Алюминий

2700

890

Магниевый сплав

1800

700

 

                                       Таблица 1.2.

Толщина подошвы и пределы регулирования температуры

Параметр

Значение параметра

1

2

3

4

Толщина, 10–3 м

5

10

15

20

Dt1, °С

5

10

20

30

Dt2, °С

5

10

20

30

 

Методические указания. Решение задачи выполнить для квазиустановившегося теплового повторно-кратковременного режима.

Ответ:

,

.

1-9. Стальной лист, вынутый из печи, имеет температуру tн = = 500 °С и охлаждается на воздухе с температурой tж = 20 °С. Определить температуру tс, которую будет иметь металл через 1 час после начала охлаждения. Толщина листа 2d = 20 мм, коэффициент теплопроводности стали l = 43.5 Вт/(м°С), коэффициент теплоотдачи в воздух aΣ = 35 Вт/(м2·К), плотность g = 7900 кг/м3, теплоемкость с = 0.46×103 Дж/(кг·К).

Решение.

Сначала рассчитывается критерий Био

.

В этом случае лист можно рассматривать как термически тонкое тело, температура которого одинакова во всех точках и рассчитывается по формуле

            ,     (1.38)

где  – критерий Фурье, Qс – безразмерная температура стенки. Для вычисления критерия Фурье сначала рассчитывается коэффициент температуропроводности:

 м2/с,

тогда

.

Из уравнения (1.38)

1-10. Решить задачу 1.9 при условии, что толщина листа 2d =

= 10 мм.

1-11. Решить задачу 1.9 при условии, что толщина листа 2d =

= 6 мм.

1-12. Решить задачу 1.9 при условии, что начальная температура листа составляет tн= 400 °С.

1-13. Решить задачу 1.9 при условии, что толщина листа 2d =

= 10 мм, и начальная температура составляет tн= 400 °С.

1-14. Решить задачу 1.9 при условии, что толщина листа 2d =

= 6 мм, и начальная температура составляет tн = 400 °С.

1-15. По условию задачи 1.9 найти температуру листа tс через 15 мин после начала остывания.

1-16. По условию задачи 1.9 найти температуру листа tс через 0.5 часа после начала остывания.

1-17. По условию задачи 1.9 найти температуру листа tc через 45 мин после начала остывания.

1-18. Определить время остывания t стального листа из задачи 1.9, до температуры tc = 20.1°С.

Решение.

Используя формулу (1.38) в задаче 1.9, определяем значение критерия Фурье Fo, соответствующего моменту времени t, когда достигается заданная температура tc

.

Так как по определению , то отсюда

 = 9175 c = 2 часа 32 мин 54 с.

1-19. Решить задачу 1.18 при условии, что толщина листа 2d = = 10 мм.

1-20. Решить задачу 1.18 при условии, что толщина листа 2d = = 6 мм.

1-21. Решить задачу 1.18 при условии, что начальная температура листа tн  = 400 °С.

1-22. Решить задачу 1.18 при условии, что толщина листа 2d = = 10 мм, а начальная температура tн =400 °С.

1-23. Решить задачу 1.18 при условии, что толщина листа 2d = = 6 мм, а начальная температура tн =400 °С.

1-24. Определить время остывания листа из задачи 1.9 до температуры tс = 200 °С.

1-25. Найти время остывания листа из задачи 1.9 до температуры tс  = 100 °С.

1-26. Пользуясь исходными данными и результатами зада-

чи 1.9, определить: а) плотность теплового потока q через 1 час после начала остывания стального листа; б) тепловые потери Q с поверхности листа площадью 1 м2 в течение первого часа остывания.

Решение.

По закону Ньютона-Рихмана плотность теплового потока с поверхности в любой момент t будет

,

где tс(t) – значение температуры поверхности в рассматриваемый момент времени.

Температура поверхности tс в момент t = 1 час определена в задаче 1.9, Тс = 37.2 °С. В результате плотность теплового потока

 Вт/м2,

Полное количество тепла Q, отданное телом в течение промежутка времени Dt = t2 – t1, можно рассчитать по формуле

,

где проводится интегрирование по всей поверхности тела и по времени в рассматриваемом интервале. В общем случае aΣ и tс зависят от координат поверхности и времени. Предполагаем, что . Учитывая, что в нашем случае стальной лист можно рассматривать как неограниченную пластину, то температура стенки tс будет зависеть лишь от времени. Тогда проведем интегрирование по поверхности, т.е.

.

Далее, выражая (tс – tж) из (1.38) в задаче 1.9, можно написать

Для условий задачи F = 2×1 м2 = 2 м2, так как участок листа имеет 2 поверхности, t1 = 0, t2 = 1 час, тогда.

1-27. Решить задачу 1.26 при условии, что толщина листа 2d = = 10 мм.

1-28. Решить задачу 1.26 при условии, что толщина листа 2d = = 6 мм.

1-29. Решить задачу 1.26 при условии, что толщина листа 2d = 10 мм, а начальная его температура tн = 400 °С.

1-30. Решить задачу 1.26 при условии, что толщина листа d = = 10 мм.

1-31. Решить задачу 1.26 при условии, что начальная температура листа tн = 400 °С.

1-32. Определить: а) плотность потока тепла с поверхности листа из задачи 1.9 через 0.5 часа после начала остывания; б) тепловые потери с 1 м2 его поверхности в течение первых 30 мин после начала остывания.

1-33. Определить: а) плотность потока тепла с поверхности листа из задачи 1.9 через 45 мин после начала остывания; б) тепловые потери с 1 м2 его поверхности листа за первые 45 мин после начала остывания.

1-34. В электрической печи осуществляется нагрев под закалку штампов, представляющих собой плоские плиты размером 500х500х200 мм. Нагрев – двухсторонний, конечная температура нагрева 880 °С, начальная температура садки 20 °С. Материал штампов – инструментальная сталь: l = 37,2 Вт/(м×°С), с = 0,67×103 Дж/(кг×°С), g = 7800 кг/м3, 2d = 0,2 м.

Построить кривые нагрева штампов и определить по ним время нагрева при температурах печи tж = 900 °С и tж = 1000 °С.

Решение.

Коэффициент температуропроводности материала

.

а) Нагрев при tж = 900 °С = const.

Средний за время нагрева коэффициент теплоотдачи для стали равен

где спр – приведенный коэффициент лучеиспускания, Вт/(м2К4) [1]; Тж= tж + 273 – температура печи, К; Тсср = tсср + 273 – средняя за период нагрева температура поверхности нагреваемого изделия, К. Приняв aк = 10 Вт/(м2×°С) при tж = 900 °С, суммарный коэффициент теплоотдачи равен S = 192 Вт/(м2×°С). Так как нагрев двусторонний, то характерный размер  м.

Число Био

.

Число Фурье

.

Задаваясь временем τ, рассчитываем число Фурье Fo, и по графикам для расчета нагрева поверхности и средней плоскости пластины (приложение П1-1 и П1-2) определяем соответствующие относительные температуры:

поверхности                        

и центра                                            ,

откуда

,

.

Зависимости температур поверхности и центра плиты от времени при температуре печи tж= 900 °С приведены в табл. 1.3. Графики нагрева поверхности и центра плиты приведены на рис. 1.7, а распределение температуры по толщине плиты представлено на рис. 1.8. Как видим (левая часть графика), время достижения плитой средней температуры в 880 °С tн = 3,4 ч, при этом поверхность пластины будет иметь 882 °С, ее средняя плоскость 878 °С, перепад по ее толщине 4 °С.

 

Таблица 1.3.

Зависимости температур поверхности

и центра плиты при tж = 900 °С

t, ч

Fo

Q0

tс, ОС

t0, °С

tс- t0, °С

0,1

0,2

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0,257

0,514

0,285

2,57

3,855

5,14

6,425

7,71

8,995

10,28

0,775

0,67

0,48

0,28

0,165

0,09

0,055

0,031

0,018

0,011

0,95

0,87

0,63

0,36

0,216

0,117

0,069

0,038

0,021

0,0122

218

311

478

656

758

822

852

873

884

890,3

64

135

346

582

715

797

839

866,5

881,5

889,3

154

176

132

74

43

25

13

6,5

2,5

1,0

 

 

tн=3,4

 

tпечи=900°С

 

2d=0,2м

 

 

t0

 

tн=1,6

 
      

Рис.  1.7.   Нагрев  стальной  плиты

 толщиной 200 мм до 880° С в печи

с постоянной температурой

 

 

Рис. 1.8. Распределение температуры

по толщине нагреваемого штампа

 

 

 
 

 

 

б) Нагрев при температуре печи tж = 1000 °С = const.

Аналогично предыдущему определяем:

tж = 1000 °С; å = 233 Вт/(м2×°С);

; ;

 1/м;  1/h = 0,16 м.

Зависимости температур поверхности и центра плиты при температуре печи tж=1000 °С от времени приведены в табл. 1.4. Графики нагрева поверхности и центра плиты показана на рис. 1.7, а распределение температуры по толщине плиты представлено на рис. 1.8. Из рисунков видно, что при увеличении температуры печи с 900 °С до 1000 °С время нагрева штампа до 880 °С сокращается до 1,4 ч, т.е. более чем в 2 раза, но зато перепад температур в толще плиты при этом составит 900 – 865 = 35 °С.

Кроме того, во втором случае, если произойдет задержка с выемкой штампа из печи, например на 15 мин, то поверхность его достигнет 930 °С (превышение температуры против задания на 50 °С), в то время как в первом случае поверхность плиты достигла бы лишь 887 °С (превышение температуры только на 7 °С). Следовательно, работа в режиме с температурой печи 1000 °С дает существенный выигрыш в производительности, но обусловливает больший температурный перепад в изделии и требует четкого и точного обслуживания печи.

Таблица 1.4.

Зависимости температур поверхности

и центра плиты при tж = 1000 °С

t, ч

Fo

Q0

tсв, °С

t0, °С

tс- t0, °С

0,1

0,2

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,257

0,514

0,285

2,57

3,855

5,14

6,425

7,71

0,74

0,64

0,43

0,225

0,115

0,06

0,032

0,017

0,94

0,86

0,58

0,295

0,16

0,087

0,044

0,022

275

373

573

780

887

941

968,6

983,3

80

157

432

711

843

915

957

978,5

195

216

146

69

44

26

11,6

4,8

 

1-35. Определить время, необходимое для нагрева стальных заготовок в электрической печи до температуры 860 °С, и время последующего их остывания на воздухе до температуры 100 °С. Диаметр заготовок 200 мм, их длина 1000 мм, их начальная температура tн и температура окружающего воздуха tж2 равны 20 °С, температура печи tж1 = 900 °С = const. Свойства материала:

l = 34,9Вт/(м×°С), с = 0,67×103 Дж/(кг×°С), g = 7850 кг/м×3.

Решение.

Коэффициент температуропроводности

 м2/с.

Нагрев заготовок. Для tж1 = 900 °С, å = 192 Вт/(м2×°С) (приложение П1.1)

К концу нагрева, когда температура поверхности заготовок достигнет 860 °С,

По графикам приложений П1.3 и П1.4 определяем Fо = 3,35. Тогда

,

отсюда

 с = 1 ч 24 мин.

Числу Фурье Fo = 3,35 соответствует

,

откуда

Перепад между температурами поверхности и оси заготовок через 1,4 ч от начала нагрева составляет, таким образом, 9 °С.

Остывание заготовок на воздухе происходит с tc = 860 до

tc = 100 °С. Определяем средний коэффициент теплоотдачи

(см. задачу 1-34): при 860 °С å = 174 Вт/(м2×°С), при 100 °С

å = 17,4 Вт/(м2×°С), среднее за период остывания значение коэффициента теплоотдачи равно å = 64,4 Вт/(м2×°С).

.

При расчете остывания заготовок температура среды tж2 = 20 °С, конечная температура охлаждения заготовок tc = 100 °С, начальная температура tн = 860 °С:

.

Этому соответствует Fo = 6,75 (см. П1.3, П1.4), тогда время остывания

 с = 24 ч 49 мин.

Числу Fo = 6,75 соответствует относительная температура центра

,

откуда температура центра

t0 = 840×0,11+20 = 112 °С.

1-36. Определить время нагрева стального штампа под закалку в электрической камерной печи. Размеры штампа 300х300х200 мм, он устанавливается в лежачем положении на поду печи, нагревание сверху и с четырех боковых сторон. Температура нагрева tc = 900 °С, температура печи tж = 930 °С, начальная температура tн = 20 °С, параметры материала: l = 34,9 Вт/(м×°С), с = 0,67×103 Дж/(кг×°С), g = 7800 кг/м×3.

Решение.

Коэффициент температуропроводности

 м2/с;

коэффициент теплоотдачи (см. задачу 1-34)

å = 210 Вт/(м2×°С).

Так как размеры штампа близки друг к другу, то его нельзя рассматривать как бесконечную пластину, в этом случае получилось бы завышенное время нагрева. Поэтому используем принцип наложения тепловых потоков, идущих в каждой точке штампа по трем координатным осям, причем относительные температуры каждой точки могут быть получены перемножением отно-сительных температур, определенных для каждого из потоков при соответствующих значениях чисел Fo и Bi. Найдем температуры в различных точках штампа (рис. 1.9). Входящие в критерии определяющие размеры будут равны:

x = 0,15 м; y = 0,15 м; z = 0,2 м; отсюда критерии по осям:

;

;

;

;

;

.

К концу первого часа нагрева:

Fox = 29,7×10-5×3600 = 1,07;

Foy = 29,7×10-5×3600 = 1,07;

Foz = 16,7×10-5×3600 = 0,6.

По числам Био и Фурье определяем функции Qс и для для всех трех потоков Qx, Qy и Qz (приложение П1.1);

для потока Qx      Qс = 0,31; Q0 = 0,51;

для потока Qy      Qс = 0,31; Q0 = 0,51;

для потока Qz      Qс = 0,42; Q0 = 0,7.

Точки 1 в верхних углах параллелепипеда (рис. 1.9.) являются поверхностными точками для всех потоков; точки 2 – поверхностными для боковых потоков и центральными для верхнего потока; точки 3 – поверхностными для потока Qz и для одного из двух боковых потоков и центральными для другого бокового потока; точки 4 – центральными для потока Qz и для одного из боковых потоков Qx или Qy и поверхностными для другого бокового; точка 5 является поверхностной для потока Qz и центральной для обоих боковых потоков; наконец, точка 6 является центральной для всех трех потоков (табл. 1.5).

Таблица 1.5.

Результаты расчета

Точка

Qx Qy Qz

T = tпечи - (tпечи - t0) Qx Qy Qz

1

2

3

4

5

6

0,31×0,31×0,42 = 0,0405

0,31×0,31×0,7 = 0,0675

0,31×0,42×0,51 = 0,0663

0,31×0,51×0,7×= 0,111

0,42×0,51×0,51×= 0,109

0,51×0,51×0,7 = 0,182

930 – 910×0,0405 = 893,0

930 – 910×0,0675 = 868,5

930 – 910×0,0663 = 869,5

930 – 910×0,111 = 829,0

930 – 910×0,109 = 831,0

930 – 910×0,182 = 764,0

 

Отсюда видно, что наивысшие температуры достигнуты в верхних углах параллелепипеда (в точках 1), наименьшая – в точке 6. Поэтому в дальнейшем достаточно проверять лишь эти две точки.

Через 1,5 ч от начала нагрева

Fox = 29,7×10-5×1,5×3600 = 1,6; Foy = 1,6;

Foz = 16,7×10-5×1,5×3600 = 0,9.

По рис. П1.1 и П1.2:

для потока Qx    Qс = 0,25; Q0 = 0,37;

для потока Qy    Qс = 0,25; Q0 = 0,37;

для потока Qz    Qс = 0,32; Q0 = 0,55.

В точке 1 Qx Qy Qz = 0,25×0,25×0,32 = 0,02;

tс1 = 930 – 910×0,02 = 912 °С.

В точке 6 Qx Qy Qz = 0,37×0,37×0,55 = 0,0753;

tс6 = 930 – 910×0,0753 = 861,5 °С.

Как видно, точка 1 уже перешла за заданную температуру tc = = 900 °С, а точка 6 еще не достигла ее, максимальный перепад температур в штампе велик, поэтому время нагрева надо увеличить примерно на 1/4 ч, до t = 1,75 ч. При этом Fox = 29,7×10-5×1,75×3600 = = 1,87; Foy = 1,87; Foz = 16,7×10-5×1,75×3600 = 1,05.

В точке 1 Qx Qy Qz = 0,21×0,21×0,28 = 0,0123;

tс1 = 930 – 910×0,0123 = 919 °С.

В точке 6 Qx Qy Qz = 0,3×0,3×0,48 = 0,0432;

tс6 = 930 – 910×0,0432 = 891,5 °С.

На этот раз максимальный перепад уменьшился до 27,5 °С, точки с максимальной и минимальной температурой достаточно близки к заданной температуре, поэтому время нагрева в 1,75 ч может быть признано удовлетворительным. Определяем температуру остальных точек штампа.

В точке 2 Qx Qy Qz = 0,21×0,21×0,48 = 0,0212;

tс1 = 930 – 910×0,0212 = 911 °С.

В точке 3 Qx Qy Qz = 0,21×0,28×0,3 = 0,0177;

tс6 = 930 – 910×0,0177 = 914 °С.

В точке 4 Qx Qy Qz = 0,21×0,3×0,48 = 0,0303;

tс1 = 930 – 910×0,0303 = 902,5 °С.

В точке 5 Qx Qy Qz = 0,28×0,3×0,3 = 0,0252;

tс6 = 930 – 910×0,0252 = 907 °С.

1-37. Определить время нагрева от tн = 0 до tс = 600 °С плоских заготовок толщиной 2d = 200 мм в электропечи при двухстороннем нагреве и постоянном тепловом потоке qс = 30000 Вт/м2. Материал заготовок сталь, l = 34,9 Вт/(м×°С), с = 0,67×103 Дж/(кг×°С),

g = 7820 кг/м3.

Решение.

Коэффициент температуропроводности (1.20)

 м2/с.

По достижении регулярного режима в пластине установится постоянный температурный перепад (см. п.1.22)

Время наступления регулярного режима

 ч.

В этот момент времени температура поверхности равна (1.35)

,

а температура центра (1.36)

.

Через 1 час с начала нагрева

.

Уравнение температуры поверхности

,

откуда время нагрева

ч.

При этом температура на средней плоскости пластины t0 = 600 – 43 = = 557 °С. Если желательно, чтобы средняя температура пластины была tср = 600 °С, то необходимо с учетом параболического характера распределения температур по сечению нагреть ее поверхность до tc = 629 °С, температура средней плоскости при этом достигнет t0 = 586 °С. На это потребуется время

1-38. Резиновая пластина толщиной 2d = 6 мм, нагретая до температуры tн = 140 °С, помещена в воздушную среду с температурой tж = 15 °С.

Определить температуры в середине t0 и на поверхности tс пластины через t = 20 мин после начала охлаждения. Коэффициент теплопроводности резины l = 0,175 Вт/(м×°С). Коэффициент температуропроводности резины a = 0,833×10-7 м2/с. Коэффициент теплоотдачи от поверхности пластины к окружающему воздуху aк = 65 Вт/(м2×°С).

Ответ: tx=0 = 47,5 °С; tx=d = 25,4 °С.

1-39. Для условий задачи 1.38 определить температуру на расстоянии x = d/2 = 5 мм от середины пластины. Определить также безразмерные температуры в середине и на поверхности пластины расчетным путем и сравнить результаты расчета со значениями Qx=0 и Qx=d , полученными в задаче 1.38.

Ответ: tx = d/2 = 41 °С; Qx = 0 = 0,257; Qx = d = 0,082.

1-40. Определить промежуток времени, по истечении которого лист стали, прогретый до температуры tн = 500 °С, будучи помещен в воздушную среду, температура которой tж = 20 °С, будет иметь температуру, отличающуюся не более чем на 1 \% от температуры окружающей среды.  Толщина листа 2d = 20 мм, коэффициент теплопроводности стали l = 45,5 Вт/(м×°С); теплоемкость стали c = 0,46 кДж/(кг×°С); плотность сталиg = 7900 кг/м3. Коэффициент теплоотдачи от поверхности листа к окружающему воздуху aк = 35 Вт/(м2×°С).

Указание. Для оценки характера распределения температуры по сечению листа стали подсчитаем значения критерия Био:

.

Так как Bi << 0,1, то можно температуру по сечению пластины считать одинаковой во всех точках и воспользоваться формулой

.

Ответ: 2 ч 15 мин.

1-41. Определить время t, необходимое для нагрева листа стали толщиной 2d = 24 мм, который имел начальную температуру

tн = 25 °С, а затем был помещен в печь с температурой tж = 600 °С. Нагрев считать законченным, когда температура листа достигнет значения t = 450 °С.

Коэффициент теплопроводности, теплоемкость и плотность стали равны соответственно l = 45,4 Вт/(м×°С); c = 0,502 кДж/(кг×°С);

g = 7800 кг/м3, а коэффициент теплоотдачи от поверхности листа aк = 23,3 Вт/(м2×°С).

Ответ: t = 45 мин.

1-42. Длинный стальной вал диаметром d = 2R = 120 мм, который имел начальную температуру tн = 20 °С, был помещен в печь с температурой tж = 820 °С.

Определить время t, необходимое для нагрева вала, если нагрев считается законченным, когда температура на оси вала t0 = 800 °С. Определить также температуру на поверхности вала tс в конце наг-рева.

Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности стали равны соответственно l = 21 Вт/(м×°С); a = 6,11×10-6 м2/с. Коэффициент теплоотдачи к поверхности вала aå = 140 Вт/(м2×°С) (см. задачу 1.34).

Решение.

Температуры на оси и поверхности длинного цилиндра при нагревании (охлаждении) в среде с постоянной температурой можно определить с помощью графиков Q0 = F1(Bi, Fo) (приложение П1.3) и Qс = F2(Bi, Fo) (приложение П1.4).

В рассматриваемом случае

;