Название: Информатика.Алгоритмы и программы вычислительных задач микроэлектроники - Метод.(Н.В. Усольцев)

Жанр: Информатика

Просмотров: 886


2. методы якоби и зейделя

Метод простых итераций (Якоби) и метод Зейделя могут быть применены к системам, допускающим переход от формы (2) к форме

                                                                                       (4)

Итерационная формула строится как и в случае одного уравнения: в левой части (4) записывается значение вектора , вычисляемого на k-той итерации, а в правой части – взятое с предыдущей:

                                                                                                              (5)

где      k = 1, 2, 3, … -номер итерации. Нулевое приближение  должно быть задано.

Расписывая (5) по индексам компонент вектора , получаем

                         (6)

Формулы (5) и (6) реализуют метод Якоби. При вычислении новых компонентов вектора  на каждой итерации берутся старые их значения с предыдущей итерации. Если же при вычислении i-того компонента брать значения , уже вычисленные на этой итерации, то будет реализован метод Зейделя

                          (7)

Все аналогично тому, как это делается в соответствующих методах при решении систем линейных уравнений.

При разработке алгоритмов этих методов следует иметь в виду следующее.

Первое: как и для систем линейных уравнений, индекс k считается фиктивным и не порождает соответствующего индекса массива.

Второе: детализация итерационного цикла сильно зависит от того, как будет реализована правая часть системы уравнений. Здесь возможны два варианта. В первом функция будет возвращать правую часть указанного i-того уравнения Fi по заданному значению вектора неизвестных , а во втором – вектор правых частей  по заданному значению вектора :

 

 

Первый вариант приводит к блок-схемам, практически не отличающихся от представленных в лабораторной работе № 3. Но чаще используется второй вариант, поэтому приводимые на рис. 6.1 и 6.2 блок-схемы используют именно его.

Внутри итерационного цикла (в данном случае использован цикл с послеусловием) происходит расчет нового значения вектора неизвестных и модуля вектора приращений неизвестных. Если обращение к функции, реализующей правую часть системы уравнений, выполняется вне цикла по компонентам вектора, то для вычисления всех его компонентов используется старые значения неизвестных и, следовательно, реализуется метод Якоби. Если же обращение к функции внесено внутрь цикла по компонентам вектора , то при их вычислении уже используются новые значения всех компонентов до (i-1)-го и, следовательно, реализуется метод Зейделя.