Название: Информатика.Алгоритмы и программы вычислительных задач микроэлектроники - Метод.(Н.В. Усольцев)

Жанр: Информатика

Просмотров: 886


3. метод ньютона

Итерационная формула метода Ньютона для системы нелинейных уравнений по аналогии с формулой для одного уравнения ((7) из лабораторной работы № 5) может быть представлена в виде:

 

Рис. 6.1. Блок-схема алгоритма метода простых итераций (Якоби) для систем уравнений

 

 

Рис. 6.2. Блок-схема алгоритма метода Зейделя для систем уравнений

 

                                             (8)

где           - значение вектора неизвестных, полученное на k-той итерации;

  - значение вектора неизвестных, полученное на предыдущей итерации и входящее в k-тую итерацию;

- вектор левых частей уравнений от вектора неизвестных на k-1 итерации;

- матрица Якоби системы, взятая от вектора неизвестных на k-1 итерации.

Элементы матрицы Якоби – это производные левых частей уравнений по неизвестным:

                                   .

Формула (8) является более общим случаем и влючает в себя итерационую формулу Ньютона для одного уравнения.  В этом случае вектора  и состоят из одного компонента, а матрица Якоби – из одного элемента . Обратная матрица Якоби будет представлять собой . Формула (8) при этом превращается в формулу (7) из лабораторной работы № 5.

При выполнении вычислений по формуле (8) необходимо на каждой итерации обращать матрицу Якоби. Нахождение обратной матрицы требует n-кратного решения СЛАУ. Поэтому итерационную формулу  (8)  несложными преобразованиями приводят к следующему виду:

                        ;                                                                      (9а)

                        .                                                                                    (9б)

Теперь она состоит из двух частей: системы линейных алгебраических уравнений (9а) и формулы итерационного шага (9б).

На каждой итерации выполняют следующие действия:

Рассчитывают матрицу Якоби  и вектор левых частей уравнений  от предыдущего значения вектора неизвестных ;

Решают СЛАУ (9а) относительно вектора приращений неизвестных на i-той итерации;

Совершают итерационный шаг по формуле (9б).

Итерации выполняют до тех пор, пока модуль вектора приращений не станет меньше данной погрешности , а модуль вектора левых частей уравнения – меньше погрешности :

                                                                                          (14)

Блок-схема алгоритма метода Ньютона приведена на рис. 6.3.

 

Рис. 6.3. Блок-схема алгоритма метода Ньютона для систем уравнений

Метод Ньютона чувствителен к выбору нулевого приближения и итерации могут расходиться. Часто это можно предотвратить, ограничивая вектор приращений неизвестных, также как это делается для одного уравнения. Если на итерационном шаге модуль вектора приращений получается больше заданной величины , то все его компоненты умножаются на отношение  и, тем самым, ограничивают величину итерационного шага.

 

4. Нормирование переменных и уравнений

Очень часто переменные-неизвестные реальных систем уравнений и сами левые (правые) части их имеют разные физические размерности и порядки величин. При этом необходимо по каждой неизвестной и по каждой левой (правой) части задавать свои значения погрешностей. Часто представляется более удобным привести переменные-неизвестные к одному диапазону величин путем умножения их на индивидуальные нормировочные коэффициенты. Это позволит назначить им одно и то же значение погрешности . То же самое делается и для левых (правых) частей уравнений. Обычно для нормирования выбирается диапазон порядка единиц. Для выполнения нормирования необходимо представлять ориентировочные значения ожидаемых корней или хотя бы их порядки. Но без этого не удается задать и нулевые приближения.