Название: Деформирование криволинейных стержней - учебное пособие (Левин В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1292


3.1.1. консольно защемленный стержень

 

   Рассмотрим плоский нерастяжимый стержень, нагруженный «мертвой» поперечной силой на торце (рис. 11). Радиус-вектор запишем в виде:

,   ,   .

Система уравнений имеет вид:

,

,

,               (54)

,

,

.

Из трех последних уравнений системы (54) и краевых условий найдем:

, ,     .                   (55)

Дифференцируя третье уравнение и подставляя , получим:

     или   ,              (56)

где , . Последнее уравнение запишем в виде:

  ,                               (57)

После интегрирования (57) будем иметь:

  .                          (58)

Здесь  – произвольная постоянная.

Обозначим:

   .                                       (59)

(Отсюда следует ограничение на величину : .)

Из (58) найдем выражение кривизны деформированного стержня:

   .                                   (60)

Продифференцируем (59):

   .                            (61)

Выражая  из (59), получим:

   .                              (62)

Учитывая (60), запишем:

  .         (63)

Таким образом, с длиной стержня связана новая перемен-

ная .

Краевым значениям ,  соответствуют краевые значения , . Сначала определим .

При  :

          (64)

(более общее решение этого уравнения имеет вид: ).

Из (59) видно, что .

При :

    .   (65)

Отсюда следует, что:

,       .                   (66)

Введем обозначения:

   – эллиптический интеграл первого рода;

   – эллиптический интеграл второго рода. Интегрируя соотношение  вдоль стерж-

ня, получим:

,

или, с учетом введенных обозначений

     .                         (67)

Выбирая параметр m из интервала , по формуле (67) найдем силу , соответствующую этому параметру, и конфигурацию деформированного стержня при выбранном значении . Для этого потребуются выражения , :

, ,

  ,                      (68)

    .

Выражения для производных имеют вид:

 ,

,     (69)

,

,

   .

 

Проинтегрируем (69) по :

,

.          (70)

После преобразований получим:

.    (71)

Относительные координаты точек оси деформированного стержня:

,   .  (72)

Итак, и значение приложенной силы, и координаты оси деформированного стержня удалось выразить через специальные функции – эллиптические интегралы. Точность вычислений в этой задаче определяется точностью вычисления эллиптических интегралов.

Последовательность расчетов такова:

1) задаем ряд значений параметра m из интервала ;

2) после задания  определятся , ;

3) по формуле  находим силу, соответствующую выбранному параметру ;

4) по формулам (72) определим форму изогнутого стержня.

Можно задавать силу , а параметр m искать, решая нелинейное уравнение .

 

На рис. 12 показаны различные формы изогнутого стержня.

 

 

Рис. 12. Конфигурации стержня при разных нагрузках