Название: Деформирование криволинейных стержней - учебное пособие (Левин В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1292


3.1.3. продольно сжатый шарнирно  опертый стержень

 

   Рассмотрим задачу о нагружении продольной сжимающей силой прямого гибкого стержня длины  (рис. 15). Граничные условия:

при :  

,   , ;                                (76)

при :  

,   , .                                (77)

При  возможны другие условия:

,   ,                                 (78)

или  

,   , .                              (79)

 

Любое из условий (76) – (79) соответствует искривленному стержню. Выбор конкретной схемы нагружения зависит от поставленной задачи.

Обозначим через  угол поворота торца стержня относительно оси 0х (рис. 15).

 

Рис. 15.  Расчетная схема

 

Деформирование стержня определяется параметром . Относительные координаты точек стержня в системе координат  имеют вид:

                    (80)

 , , ,     (81)

где

,  –    (82)

эллиптические интегралы первого и второго рода,

Переменная y связана с  соотношением

                 .     (83)

Кривизна стержня  c  подсчитывается по формуле:

.                                      (84)

На рис. 16 показаны формы стержня при различных приложенных нагрузках. Значение  соответствует первой критической силе .

 

 

Рис. 16.  Эволюция формы стержня при росте сжимающей силы

 

В рассмотренных задачах решение удалось выразить через специальные функции – эллиптические интегралы. Для вычисления значений таких функций в различных точках интересующего интервала приходится пользоваться численными методами.

В некоторых математических пакетах алгоритмы вычисления определенных специальных функций запрограммированы. Если таких алгоритмов нет, этот вопрос приходится решать отдельно, например, пользоваться многочленными аппроксимациями.

С эллиптическими интегралами связаны эллиптические функции. Вместо переменной y рассматрим переменную u, которую введем по формуле: . Используемые функции  можно выразить через новую переменную :

, ,  ,

.                                          (85)

Для введенных эллиптических функций можно записать следующие ряды:

,

,

    .                              (86)

Используя параметр , решение задачи можно также выразить через введенные эллиптические функции.

Можно показать, например, что .