Название: Деформирование криволинейных стержней - учебное пособие (Левин В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1292


4.  ферма мизеса. точное решение

Решения нелинейных задач отличаются от решений линейных задач многообразием. Это видно уже на системах с одной степенью свободы. Перед тем как перейти к численному алгоритму решения системы нелинейных уравнений деформирования криволинейного стержня, остановимся на примере классической фермы Мизеса как нелинейной системы с одной степенью свободы. В этом случае удается провести анализ устойчивости до конца в замкнутом виде. Считаем, что точка приложения силы смещается только вертикально, пружины работают только на растяжение-сжатие, их жесткости обозначим  (рис. 17). Таким образом, имеем систему с одной степенью свободы .

 

 

Рис. 17.  Ферма Мизеса

 

Эта задача допускает аналитическое решение с исследованием устойчивости различных состояний рассматриваемой системы.

Введем безразмерные величины:

,   .

 

Укорочение пружины при деформации имеет вид

   .                         (87)

Потенциальная энергия деформаций пружин запишется в виде:

,

.              (88)

 

Работа внешней силы  :

  .      (89)

Полная энергия системы: , ,

.     (90)

Найдем первую вариацию полной энергии:

,                                 (91)

где   .

Равновесные состояния системы удовлетворяют условию . Поскольку вариация  произвольна, то уравнение равновесия имеет вид

.                                       (92)

Вычислим вторую вариацию полной энергии системы:

,

.                 (93)

По знаку второй вариации можно судить об устойчивости системы. Точки, в которых , система устойчива при  – неустойчива. Точки ветвления форм равновесия определяются условием . Такому условию удовлетворяют точки:

    .                                    (94)

 

В этих точках вторая производная  меняет свой знак. Значения силы в этих точках определяются выражением:

   .                  (95)

Если , то система неустойчива, если  или , то система устойчива. Таким образом, для каждой конфигурации фермы, которая определяется геометрическим параметром , существует свое значение критической силы, при которой ферма теряет устойчивость. Введем относительное перемещение . Диаграмма равновесных конфигураций в плоскости параметров ,  для нескольких значений параметров фермы приведена на рис. 18.

Рис. 18. Зависимость “перемещение – нагрузка”

для фермы Мизеса

 

На рис. 19 показаны траектории движения точек по кривой равновесных состояний. Движение может начинаться из точ-

ки . При увеличении силы  ее точка приложения перемещается вниз (рис. 17). В точке  вторая производная полной энергии обращается в нуль. Эта точка ветвления равновесных форм. При дальнейшем увеличении силы система “ перескочит” в точку . Дальнейшее движение– в направлении к точке . Другой возможный сценарий – траектория . В точках  и  сила меняет свое направление.

Рис. 19. Траектории движения точек по кривой

равновесных состояний

 

Таким образом, нагружая ферму силой, участок  пройти не удастся. Вместо силы деформировать ферму можно перемещая общий узел по вертикали. В этом случае можно обойти участок , удерживая ферму от перескока.

При численном построении кривых “нагрузка – кинематичес-кий параметр” в системах, подобных ферме Мизеса, но более сложных (например, при нелинейном деформировании стержней) нужно выбирать параметр продолжения решения так, чтобы обеспечить однозначность решения при прохождении соответствующего участка диаграммы.