Название: Деформирование криволинейных стержней - учебное пособие (Левин В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1292


5.1. метод ньютона. приложение метода пристрелки к задаче деформирования стержня

 

  Для решения систем нелинейных уравнений часто приме-няется метод Ньютона. Рассмотрим последовательность решения этим методом. Систему уравнений представим в виде:

   ,   .                         (96)

Для ускорения сходимости численного алгоритма используется матрица из частных производных – матрица Якоби:

   .                                    (97)

Итерационный процесс организуется по формуле

      .                        (98)

Процесс завершается по мере того, как решения будут отличаться друг от друга не более чем на заданную величину e.

Рассмотрим конкретную задачу. Решается система двух нелинейных уравнений:

,

.

Матрица Якоби имеет вид:

.

Пусть  ,

.

Второе приближение:

.

Третье приближение:

.

Четвертое приближение:

.

Точное решение этой системы .

Как видим, процесс сошелся с точностью в шесть знаков после запятой за четыре итерации. Если нулевое приближение взять другим, то скорость сходимости решения рассмотренной системы нелинейных уравнений может замедлиться. Так, из точки (10, 10) решение сходится к точному за семь итераций.

Перейдем к задаче деформирования стержня. Радиус-вектор осевой линии криволинейного стержня опишем в виде:

   .                                (99)

Локальные оси связаны с глобальными соотношением:

 ,    .                          (100)

Рассмотрим в текущей точке кривой s наряду с векторами ,  векторы, ориентированные так же, как векторы глобального базиса , . При изгибе осевой линии эти векторы повернутся и займут положение , :

,   ,

где   – матрица поворота.

Система уравнений, описывающих большие перемещения криволинейного плоского нерастяжимого стержня в своей плоскости, выглядит так:

,

,                 (101)

,

,

,

.

Рассмотрим задачу о нагружении консольно закрепленного стержня силой, приложенной на конце. Граничные условия имеют вид, показанный на рис. 20.

Если бы при  вдобавок к заданным граничным условиям были известны Q1, Q2, M3, то для восстановления искомых шести функций , , , ,  достаточно было бы решить задачу Коши.

Важно отметить, что информация о всем решении содержится в начальных условиях и при наличии хорошего алгоритма решения системы дифференциальных уравнений с начальными условиями (т.е. задачи Коши) в случае необходимости можно восстановить конфигурацию нагруженного стержня и законы изменения искомых функций вдоль стержня. Другая конфигурация деформированного стержня будет соответствовать другим начальным условиям.

Суть метода пристрелки и состоит в том, чтобы подобрать такие значения неизвестных начальных условий, в данном случае Q1, Q2, M3, чтобы с определенной точностью удовлетворить известным краевым условиям (в нашем случае Q1, Q2, M3) на другом конце стержня.

Зададим в начальной точке нулевое приближение для вектора начальных условий: , где , ,  – нулевое приближение для искомых , , . Вопрос выбора начальных условий – отдельный. Иногда приходится сильно менять краевые условия, чтобы найти приемлемое приближение для начального условия – по существу, решать другую задачу. После этого постепенно “доводить” краевые условия до заданных, меняя их дискретно, а полученные значения для искомых , ,  при одних краевых условиях брать в качестве исходных для других краевых условий.

После интегрирования задачи Коши в конечной точке интервала  получим нулевое приближение для вектора решений в точке . Четвертая, пятая и шестая составляющие вектора – это значения Q1, Q2, M3 в нулевом приближении. Обозначим их , , , а точные значения – , ,  – такие значения нужно получить на правом конце интервала. С учетом рассогласования приближенного решения и заданных значений краевых условий будем корректировать последующие приближения для искомых , , .

Интегрируем систему четыре раза.

Вектор                                                      Значения

начальных                                                     Z1, Z2, Z3

условий

 , , ,

, , ,

, , ,      (102)

, ,.

где   d – назначаемая точность дифференцирования.

Вычисляем матрицу  А:

.                (103)

С использованием этой матрицы делаем следующее приближе-ние для:

, .        (104)

Приближения выполняются до тех пор, пока получаемые значения не совпадут с заданными с некоторой точностью. При этом приближения, начиная с некоторого шага, будут практически одинаковыми. Остановка алгоритма осуществляется по условию:

 , .                   (105)

По существу, в методе пристрелки с целью ускорения сходимости используется итерационное уточнение, как и в методе Ньютона. Аналитическое выражение для матрицы Якоби получить затруднительно, поэтому используется прибли-женное.

При различном сочетании нагрузок, например, давление и нагрузка общего вида в форме проекций на глобальные оси, можно получать различные конфигурации стержня. Вопрос выбора начального приближения в нелинейных задачах особенно актуален. Часто приходится “идти” от известного решения,  постепенно меняя интенсивность нагружения и соответственно начальное приближение. Здесь нужен опыт, который приходит во время работы с системой уравнений, а также предыдущий опыт решения подобных задач.

В нашей задаче положим , . Будем задавать увеличивающиеся значения силы  и методом пристрелки искать недостающие компоненты вектора начальных условий для каждого значения силы. Различные конфигурации стержня показаны на рис. 21.