Название: Деформирование криволинейных стержней - учебное пособие (Левин В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1292


5.3. деформирование прямого стержня, сжатого продольной силой

 

   Рассмотрим задачу о нагружении шарнирно опертого стер-жня продольной силой, приложенной на конце. Граничные условия имеют вид (рис. 23):

при  

, , ;

при :

, ,

или

, .                         (110)

Возьмем , .

Методом пристрелки ищем значения , ,  при  имея в виду, что при : , ,  или , .

Будем проводить расчеты, увеличивая силу . Нулевое приближение для Dc, ,  возьмем в виде , , . Для  будем получать , ,  – это означает, что равновесная форма – прямолинейная. Ненулевые значения  и  играют роль начальных возмущений, которые «гаснут» при . Как только Р примет значение большее, чем , решением будет ; , . В частности, при  получим ; , . Это говорит о том, что стержень начал искривляться. Используем полученные значения в качестве начального приближения для другого значения силы. Так, для силы  получим  ; . Стержень повернулся на левой опоре. Горизонтальное перемещение правой опоры –0.002024. Полученное решение в начальной точке будем использовать в качестве начального приближения при большей нагрузке. Таким образом, можно путем численного анализа выявить критическую силу.

 

5.4. Решение задач для стержней других форм

 

  Полученные ранее уравнения допускают описание криволинейных стержней разнообразной геометрии (рис. 24, 25).

Подпись:  
Рис. 24. Нелинейное деформирование полуокружности
Подпись:  

Рис. 25. Нелинейное деформирование полуэллипса

 

Изложенный алгоритм интегрирования уравнений или любой другой алгоритм, предназначенный для анализа нелинейных задач, позволяет найти решение для конкретного значения нагрузки. Затем нагрузка (или другой параметр продолжения решения) должна быть увеличена для поиска другой конфигурации. Особо следует отметить неоднозначность решений нелинейных задач. Одному и тому же значению нагрузки могут соответствовать несколько разных равновесных форм (рис. 26).

Очень важным вопросом в задачах нелинейного деформирования является устойчивость равновесной конфигурации. Для представления об изменении формы стержня под действием нагрузки строят зависимости перемещение – сила. Анализируя эту зависимость, можно косвенно судить об устойчивости.

Рис. 26. Различные равновесные конфигурации

деформированного стержня соответствуют

одной и той же силе

 

Рис. 27. Зависимость “сила – перемещение”

для криволинейной арки

В процессе построения такой кривой можно использовать полученную информацию для выбора функции решения, по которой строить продолжение и назначать величину шага по выбранному параметру продолжения.

Рассмотрим для примера деформирование арки. Кривая деформирования похожа на аналогичную кривую для фермы Мизеса (рис. 27).

Краевые условия:

: , , ,

: ,, .

Альтернативное краевое условие: : , ,

Dc = 0. Первое краевое условие с заданием силы не позволит построить кривую деформирования, поскольку зависимость  – неоднозначная. В этом смысле лучше второй тип краевого условия – задаем U, а определяем P. Можно сначала пользоваться краевым условием первого типа, но при этом в районе точки A все равно нужно сменить тип краевого условия – задавать U, а определять P.