Название: Деформирование криволинейных стержней - учебное пособие (Левин В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1292


6.1.1. нагружение собственным весом

 

   Рассмотрим важный частный случай деформирования криволинейного плоского стержня с нулевой изгибной жесткостью. Такой стержень воспринимает только растягивающие и сжимающие нагрузки. Стержень, способный сопротивляться только растяжению, называется нитью (рис. 28). Такие конструкции встречаются на практике. К ним можно отнести провода электрических и телеграфных сетей, цепи висячих мостов, тросы канатных дорог и т.п. Основной нагрузкой нити является ее собственный вес. Нить также рассчитывается на воздействие порывов ветра, обледенение, изменение температуры.

Исходное уравнение осевой линии криволинейного стержня:

.

Система нелинейных уравнений деформирования плоского стержня в своей плоскости имеет вид:

,

,

,

,                                 (111)

,

,

.

В случае, когда стержень не держит изгибающего момента (т.е. является нитью), следует отказаться от третьего уравнения,

а в шестом положить :

,

,

,

,                                  (112)

,

.

Для нерастяжимой нити следует положить e = 0. Нить не сопротивляется изгибу, и поэтому не имеет «формы» до деформирования. Если нить закреплена, то при приложении нагрузки она примет определенную форму. В связи с этим можно вести речь только о текущей конфигурации нити в отличие от стержня, который и без нагрузки имеет свою форму. Форма нити без нагрузки может быть любой.

 

Обозначим

 ,

,

,

,                                      (113)

,

где ,  – параметрические уравнения нити под нагрузкой; c* – параметр, ,  – глобальные компоненты внутренней силы (кстати, последнее уравнение означает, что в любой точке нити отсутствует перерезывающая сила, поскольку внутренняя сила направлена вдоль нити); ,  – глобальные компоненты распределенной нагрузки. Эта система описывает равновесие нерастяжимой нити.

Пусть вес нерастяжимой нити равен , а ее длина . Введем для удобства анализа безразмерные переменные:

  (k = 1, 2),  .

В безразмерных переменных система запишется так:

,

,

,

,                                      (114)

.

Начало координат поместим в начальной точке нити . Положим . Тогда

, .                   (115)

Проинтегрируем первые два уравнения и найдем форму нити:

,

.                    (116)

Преобразуем выражения для координат точек нити:

,

.                   (117)

Константы  и  определяются из краевых условий:

,

Натяжение в нити в общем случае, переменное по длине, определяется по формуле:

.                        (118)

Определив две константы  и  из условий прохождения нити через заданную правую опору, можно восстановить форму нити и распределение натяжения вдоль этой нити.

Рассмотрим частный случай, в котором распределенная сила (вес) ориентирована вдоль оси ординат:

,

(нагрузка направлена вниз).

 

Далее  введем новую переменную  по формуле:

,

так как

, то .                        (119)

Покажем, что параметрические уравнения нити под собственным весом можно записать в явном виде, используя переменную  (интегралы в этом случае определяются в замкнутом виде).

Вместо констант  и  введем константы  и  по формулам:

,    .

Отсюда:

, .

Из ( 119 ) получим

,                              (120)

,

, ,    (121)

,

,

,         (122)

.

Для силы натяжения нити получим:

   или

 

.                                  (123)

Для практики может оказаться полезным вытекающее из (122), (123) выражение:

   или   .

Постоянные  и  найдем из следующих соотношений:

,   ,           (124)

где ,  – относительные координаты второй точки крепления нити. Из второго соотношения (124) получим:

,   .

Преобразуя первое соотношение в (124), получим:

.

Окончательно придем к системе уравнений для определения   и  :

,

.                           (125)

После численного решения этих уравнений, найдем постоянные , , которые позволят восстановить форму нити и натяжение в ней.

Обозначим длину нити , расстояние между опорами , стрелу прогиба нити  (рис. 29). Решая задачу для различных исходных значений , можно получить зависимости ,  от  (рис. 30). Если  мало, то опоры расположены близко к друг другу и, очевидно, . Если , то . Для того чтобы весомая нить стала близкой к прямолинейной, требуется приложить большие усилия . Поэтому из соображений прочности допускают провисание нитей. Так, при  .