Название: Деформирование криволинейных стержней - учебное пособие (Левин В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1292


6.1.2. нагружение давлением

 

    Уравнения равновесия нити могут быть записаны и в связанных осях, определяемых единичными векторами , . Эти векторы определяются формулами:

, .               (126)

Отметим, что кривизна нити (рис. 31) определяется по формуле:

.

Матрица  в этом случае имеет вид:

,

,

,

,

,

. (127)

Преобразуем эти два уравнения к виду:

,

.         (128)

В нити отсутствует перерезывающая сила (). Если нет распределенной касательной нагрузки, то из первого уравнения (128) следует, что . Чтобы при  выполнялось второе уравнение, нужно, чтобы . Покажем, что в результате интегрирования уравнений (114) получается именно такой результат.

Пусть нить нагружена давлением . Глобальные компоненты распределенной нагрузки будут такими:

,    .

Система уравнений имеет вид:

,

,

  ,

,,            (129)

Из последнего уравнения (129) имеем:

Интегрируя это соотношение получим уравнение нити под нагрузкой:

.

Эта кривая – окружность радиуса  с центром в точке (, ) . Постоянные  определяются из граничных условий. Пусть , , тогда . При , , тогда

.                      (130)

Третье условие отражает тот факт, что длина нити остается равной  (относительная длина равна единице). Здесь также удобнее перейти к параметрическому представлению:

, .

Радиус окружности . Так как относительная длина кривой равна единице, то:

.    (131)

Для радиуса окружности получим . Найдем постоянные ,  из граничного условия на левом конце нити: 

.

Тогда

.             (132)

Граничное условие на правом конце нити приводит к системе уравнений для определения , :

,

.          (133)

Некоторые полезные соотношения:

, ,

.

Для определения ,  имеем систему двух уравнений

, .        (134)

Введем две новые переменные: , . Тогда , а для отыскания  необходимо решить нелинейное уравнение .

После нахождения параметров ,  можно получить форму кривой:

  Вычислим силу натяжения нити: ,

,

,

.  (135)

.

Перепишем выражение для силы натяжения иначе:

.                              (136)

Таким образом, нить, нагруженная постоянным давлением, принимает форму дуги окружности. Сила натяжения вдоль нити при этом постоянна и определяется положением опор. На рис. 32 показаны формы нити одной и той же длины при действии давления для различного положения опор.

 

 

Рис. 32. Форма нити при различных положениях правой опоры

 

Теперь рассмотрим численный аспект решения системы уравнений:

,

,

 ,

,                                         ( 137)

.

Замечая, что sinc*, , приходим к системе четырех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно четырех искомых функций :

,

   ,                                  (138)

 ,

.

с четырьмя краевыми условиями:

.

Это краевая задача, которую можно решить, например, методом пристрелки. Метод пристрелки состоит в определении вектора начальных условий в точке : , , , , а распределение искомых функций вдоль нити ищется, например, методом Рунге-Кутта.

При различном сочетании нагрузок, например, давление и нагрузка общего вида в форме проекций на глобальные оси, можно получать различные конфигурации нити. Вопрос выбора начального приближения в нелинейных задачах, как отмечалось ранее, особенно актуален. Как правило, приходится двигаться от известного решения,  постепенно меняя интенсивность нагружения и соответственно начальное приближение.